Llei de Hooke: diferència entre les revisions

35 octets eliminats ,  fa 4 mesos
m
Gestió de l'entitat nbsp
m (Gestió de l'entitat nbsp)
m (Gestió de l'entitat nbsp)
<math>\sigma = E\epsilon \,</math>
 
on&nbsp;<math>E</math>és el&nbsp; mòdul de Young&nbsp;.
 
=== Cas tridimensional isòtrop ===
Per caracteritzar el comportament d'un sòlid elàstic lineal i isòtrop&nbsp;es requereixen a més del&nbsp; mòdul de Young&nbsp;una altra constant elàstica, anomenada&nbsp;coeficient de Poisson (<math>v</math>).D'altra banda, les equacions de Lamé-Hooke per a un sòlid elàstic lineal i isòtrop&nbsp;poden ser deduïdes del&nbsp; teorema de Rivlin-Ericksen&nbsp;, que poden escriure en la forma:
: <math>\epsilon_{xx} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{xx} - \nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{xy} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xy}</math>
: <math>\epsilon_{yy} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{yy} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{yz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{yz}</math>
: <math>\epsilon_{zz} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{zz} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}) \right) \qquad \epsilon_{xz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xz}</math>
En forma matricial, en termes del mòdul de Young i el&nbsp; coeficient de Poisson&nbsp;com:
 
<math>\begin{pmatrix}
 
=== Cas tridimensional ortòtrop ===
El comportament elàstic d'un material ortotròpic queda caracteritzat per nou constants independents: 3 mòduls d'elasticitat longitudinal&nbsp;<math>(E_x, E_y, E_z)</math>, 3 mòduls de rigidesa <math>(G_{xy}, G_{yz}, G_{zx})</math> i 3 coeficients de Poisson <math>(\nu_{xy}, \nu_{yx}, \nu_{zx})</math>&nbsp;.&nbsp;De fet per a un material ortotròpic la relació entre les components del&nbsp; tensor tensió i les components del&nbsp; tensor deformació&nbsp;ve donada per:
 
<math>\begin{pmatrix}
<math>\Delta := \frac{1-\nu_{xy}\nu_{yx}-\nu_{xz}\nu_{zx}-\nu_{yz}\nu_{zy}-2\nu_{xy}\nu_{yz}\nu_{zx}}{E_x E_y E_z}</math>
 
De fet la matriu anterior, que representa el&nbsp; '''tensor de rigidesa''' , és simètrica, ja que de les relacions (*) es la simetria de l'anterior matriu, ja que:
 
<math>\frac{\nu_{yx}+\nu_{yz}\nu_{zx}}{E_y E_z \Delta} = \frac{\nu_{xy}+\nu_{xz}\nu_{zy}}{E_x E_z \Delta} \qquad
2.760.988

modificacions