Funció de Cantor: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
m Espais sobrants
m Bot elimina espais sobrants
Línia 1:
La funció de Cantor, que es construeix  a partir del [[conjunt de Cantor]], és una funció <math>F:[0,1]\longrightarrow [0,1]</math> contínua, no decreixent, amb <math>F(0)=0 \ \text{i} \ F(1)=1</math>,  però amb derivada zero en quasi tots els punts. Es considera una funció ''patològica'' perquè aquestes propietats semblen incompatibles: ¿com pot ser que vagi del punt (0,0) al punt (1,1) amb continuïtat essent localment constant en quasi tots els punts? [[Fitxer:CantorEscalier-2.svg|300x300px|miniatura|Figura 1. Gràfic aproximat de la funció de Cantor]]
 
Aquesta funció va ser introduïda per [[Georg Cantor|George Cantor]] l'any 1884 <ref>{{Ref-publicació|cognom=Cantor, G.|article=De la puissance des ensembles parfaits de points|publicació=Acta Mathematica|data=1884|pàgines=Vol. 4, pp. 381-392}}</ref> i permet demostrar que el conjunt de Cantor té el mateix cardinal que l'interval [0,1]; també va servir com contraexemple en l'extensió que en aquell temps s'estava fent del Teorema fonamental del càlcul a funcions discontínues; pels detalls històrics, vegeu <ref>{{Ref-publicació|cognom=Fleron, J. F.|article=A note on yhe history of the Cantor set and Cantor function|publicació=Mathematics Magazine|data=1994|pàgines=Vol. 67, no. 2, pp. 136_140}}</ref>
 
La funció de Cantor també és coneguda com a ''escala del diable''.<ref>{{Ref-llibre|cognom=Mandelbrot, B.|títol=Los objetos fractales: forma, azar y dimensión|data=1989|editorial=Tusquets|lloc=Barcelona}}</ref>
 
== Construcció del conjunt de Cantor ==
La funció de Cantor es basa en el [[conjunt de Cantor]]. Per construir aquest conjunt, partim de l'interval [0,1] al que anomenem <math>C_0</math>:<math display="block">C_0=[0,1].</math> A continuació dividim aquest interval en tres parts: <math display="block">C_0=[0,\tfrac{1}{3}]\cup(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3})\cup[\tfrac{2}{3},1].</math> i n'eliminem la part central; el resultat l'anomenem <math>C_1</math>:<math display="block">C_1=[0,\tfrac{1}{3}]\cup[\tfrac{2}{3},1].</math> A la següent iteració fem exactament el mateix procés amb cadascun dels dos intervals que formen <math>C_1</math>: <math display="block">C_2=[0,\tfrac{1}{9}]\cup [\tfrac{2}{9},\tfrac{1}{3}]\cup[\tfrac{2}{3},\tfrac{7}{9}]\cup [\tfrac{8}{9},1].</math>
 
D'aquesta manera obtenim una successió decreixent de conjunts, vegeu la Figura 1.[[Fitxer:Construccio_Conjunt_Cantor.svg|alt=Dibuix dels conjunts on hem anat suprimint les parts centrals dels intervals||300px|marc|Figura 2. Construcció del conjunt Cantor]]
Línia 17:
== Definició de la funció de Cantor ==
=== Primera definició ===
La funció de Cantor <math>F:[0,1]\longrightarrow [0,1]</math> es defineix de la següent manera: si el punt <math>x</math> pertany al primer interval que hem suprimit en passar de <math>C_0</math> a <math>C_1</math>, això és, <math>x\in(1/3,2/3)</math> , prenem <math>F(x)=\tfrac{1}{2}</math>. <br/>Ara passem al nivell de <math>C_2</math>. Si <math>x</math> pertany al primer interval suprimit en aquest pas, (1/9,2/9), llavors <math>F(x)=\tfrac{1}{4}</math>. Si <math>x</math> pertany al segon interval suprimit, (7/9,8/9), llavors <math>F(x)=\tfrac{3}{8}</math>. I així successivament.
 
=== Definició explícita ===
Per donar una definició explícita de <math>F</math> cal utilitzar que el [[conjunt de Cantor]] està format pels nombres que tenen una [[conjunt de Cantor#Sistema ternari de numeració|expressió ternària]] (en base 3) formada per zeros i dosos :<math display="block"> x\in C \quad \Longleftrightarrow \quad x=(0.x_1x_2\cdots)_3,\quad \text{amb} \quad x_n\in\{0,2\},\ \forall n\ge 1.</math>
Equivalentment, tals que
<math display="block">x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x_n}{3^n},\quad \text{amb} \quad x_n\in\{0,2\},\ \forall n\ge 1.</math>Definirem '''<math>F</math>''' en dos passos:
'''Primer pas: definició de <math>\boldsymbol{F}</math> a''' <math>\boldsymbol{C}</math>
 
Comencem definint <math>F</math> sobre <math>C</math>: per <math>x=(0.x_1x_2\cdots)_3\in C</math>,
<math display="block">F(x)=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{x_n}{2^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x_n}{2^{n+1}}.\qquad (1) </math>
Alternativament, si escrivim <math>y_n=x_n/2,</math>
Línia 36:
<br>'''Segon pas: extensió de <math>\boldsymbol{F}</math> a tot l'interval [0,1]'''
 
El conjunt <math>[0,1]\backslash C</math> està format pels intervals que hem anat excloent en les diferents etapes. La funció construïda al pas anterior pren el mateix valor en ambdós extrems d'aquests interval. Per exemple. en passar de <math>C_0</math> a <math>C_1</math>, hem suprimit 'interval (1/3,2/3) i tal com hem vist, <math>F(1/3)=F(2/3)=1/2</math> ; llavors, definim, <math>F(x)=1/2</math> sobre tot aquest interval. Anàlogament es fa amb tots els altres intervals. Compareu la Figura 3 amb la Figura 4.
[[Fitxer:Funcio Cantor (aproximada).svg|alt=Funció Cantor (aproximada)|miniatura|Figura 4. Definició de la funció de Cantor: 2n pas|300x300px]]
Per ser més concret, si <math>x=(0.x_1x_2\cdots)_3 \not \in C</math> té dues característiques:
 
# Conté algun 1 en la seva expressió ternària.
# Pertany a algun interval <math>(a,b)</math> dels que suprimim en passar de <math>C_n</math> a <math>C_{n+1}</math> , per algun <math>n\ge 0</math> .
 
Designem per <math>\ell(x)</math> el lloc que ocupa el primer 1:<math display="block">\ell(x)=\text{primer índex } n \text{ tal que }x_n=1.</math>Així, (escrivim <math>\ell</math> en lloc de <math>\ell(x)</math>),
Línia 56:
 
== Aproximació de la funció de Cantor per una successió de funcions senzilles ==
Per a cada nivell <math>n\ge 1</math> designem per <math>E_1^n,E^n_2\dots, E^n_{2^n-1}</math> els intervals que hem suprimit per construir <math>C_1,\dots, C_n</math> . Per exemple, per <math>n=3</math> ,
 
<math display="block">E^3_1=(\tfrac{1}{27},\tfrac{2}{27}),\, E^3_2(\tfrac{1}{9},\tfrac{2}{9}),\,
Línia 69:
\left\{\begin{array}{ll}
0,& \text{si } x=0,\\ \\
\dfrac{k}{2^n},& \text{si } x\in E_k^{n},\quad k=1,\dots, 2^{n}-1,\\ \\
1,& \text{si } x=1.
\end{array}\right.</math>
Línia 82:
<br>'''3. <math>\boldsymbol F</math>''' '''és contínua.'''
 
<br>'''4. <math>\boldsymbol F</math> és derivable en els punts de <math>\boldsymbol{[0,1]\backslash C}</math> i en aquests punts''' <math>\boldsymbol{F'(x)=0}</math>
 
Com a conseqüència de les dues propietats anteriors, <math>F</math> és contínua però no absolutament contínua: no es pot escriure com la integral de la seva derivada; és a dir, no existeix una funció <math>f</math> tal que
Línia 91:
 
 
'''6. <math>\boldsymbol{F}</math> és Holder contínua d'índex <math>\boldsymbol{\alpha=\log 2/\log 3}</math>''' : per qualsevol <math>x,y\in[0,1]</math> , <math display="block">\vert F(x)-F(y)\vert \le \vert x-y\vert^\alpha.</math>
 
 
'''7. Caracterització per una equació funcional.''' Sigui <math>\mathcal{M}[0,1]</math> l'espai de Banach de les funcions uniformement afitades definides en [0,1] amb la norma del suprem. Tenim: La funció de Cantor és l'únic element de <math>\mathcal{M}[0,1]</math> tal que <math display="block">F(x)=\begin{cases}
\dfrac{1}{2}\, F(3x), & \text{si } x\in[0,\dfrac{1}{3}],\\ \\
\dfrac{1}{2} , & \text{si } x\in(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}),\\ \\
\dfrac{1}{2}+\,\dfrac{1}{2} F(3x-2), & \text{si } x\in[\dfrac{2}{3},1].
\end{cases}</math>