Funció de Cantor: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Espais sobrants |
m Bot elimina espais sobrants |
||
Línia 1:
La
Aquesta funció va ser introduïda per [[Georg Cantor|George Cantor]] l'any 1884 <ref>{{Ref-publicació|cognom=Cantor, G.|article=De la puissance des ensembles parfaits de points|publicació=Acta Mathematica|data=1884|pàgines=Vol. 4, pp. 381-392}}</ref> i permet demostrar que el conjunt de Cantor té el mateix cardinal que l'interval [0,1]; també va servir
La funció de Cantor també és coneguda com a ''escala del diable''.<ref>{{Ref-llibre|cognom=Mandelbrot, B.|títol=Los objetos fractales: forma, azar y dimensión|data=1989|editorial=Tusquets|lloc=Barcelona}}</ref>
== Construcció del conjunt de Cantor ==
La funció de Cantor es basa en el [[conjunt de Cantor]]. Per construir aquest conjunt, partim de l'interval [0,1] al que anomenem
D'aquesta manera obtenim una successió decreixent de conjunts, vegeu la Figura 1.[[Fitxer:Construccio_Conjunt_Cantor.svg|alt=Dibuix dels conjunts on hem anat suprimint les parts centrals dels intervals||300px|marc|Figura 2. Construcció del conjunt Cantor]]
Línia 17:
== Definició de la funció de Cantor ==
=== Primera definició ===
La funció de Cantor <math>F:[0,1]\longrightarrow [0,1]</math>
=== Definició explícita ===
Per donar una definició explícita de <math>F</math> cal utilitzar
Equivalentment, tals que
<math display="block">x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x_n}{3^n},\quad \text{amb} \quad x_n\in\{0,2\},\ \forall n\ge 1.</math>Definirem '''<math>F</math>'''
'''Primer pas: definició de <math>\boldsymbol{F}</math>
Comencem definint <math>F</math> sobre <math>C</math>:
<math display="block">F(x)=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{x_n}{2^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x_n}{2^{n+1}}.\qquad (1) </math>
Alternativament, si escrivim <math>y_n=x_n/2,</math>
Línia 36:
<br>'''Segon pas: extensió de <math>\boldsymbol{F}</math> a tot l'interval [0,1]'''
El conjunt <math>[0,1]\backslash C</math> està format pels intervals que hem anat excloent en les diferents etapes. La funció construïda al pas anterior pren el mateix valor en ambdós extrems d'aquests interval. Per exemple. en passar de <math>C_0</math> a <math>C_1</math>, hem suprimit
[[Fitxer:Funcio Cantor (aproximada).svg|alt=Funció Cantor (aproximada)|miniatura|Figura 4. Definició de la funció de Cantor: 2n pas|300x300px]]
Per ser més concret, si <math>x=(0.x_1x_2\cdots)_3 \not \in C</math> té dues característiques:
# Conté algun 1 en la seva expressió ternària.
# Pertany a algun interval <math>(a,b)</math> dels que suprimim en passar de <math>C_n</math> a <math>C_{n+1}</math> , per algun
Designem per <math>\ell(x)</math> el lloc que ocupa el primer 1:<math display="block">\ell(x)=\text{primer índex } n \text{ tal que }x_n=1.</math>Així, (escrivim <math>\ell</math> en lloc de <math>\ell(x)</math>),
Línia 56:
== Aproximació de la funció de Cantor per una successió de funcions senzilles ==
Per a cada nivell
<math display="block">E^3_1=(\tfrac{1}{27},\tfrac{2}{27}),\, E^3_2(\tfrac{1}{9},\tfrac{2}{9}),\,
Línia 69:
\left\{\begin{array}{ll}
0,& \text{si } x=0,\\ \\
\dfrac{k}{2^n},& \text{si }
1,& \text{si } x=1.
\end{array}\right.</math>
Línia 82:
<br>'''3. <math>\boldsymbol F</math>''' '''és contínua.'''
<br>'''4. <math>\boldsymbol F</math> és derivable en els punts de
Com a conseqüència de les dues propietats anteriors, <math>F</math> és contínua però no absolutament contínua: no es pot escriure com la integral de la seva derivada; és a dir, no existeix una funció <math>f</math> tal que
Línia 91:
'''6. <math>\boldsymbol{F}</math> és Holder contínua d'índex <math>\boldsymbol{\alpha=\log 2/\log 3}</math>'''
'''7. Caracterització per una equació funcional.''' Sigui
\dfrac{1}{2}\, F(3x), & \text{si } x\in[0,\dfrac{1}{3}],\\ \\
\dfrac{1}{2}
\dfrac{1}{2}+\,\dfrac{1}{2} F(3x-2), & \text{si } x\in[\dfrac{2}{3},1].
\end{cases}</math>
|