Viquipèdia

Descomposició en fraccions parcials: diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
m eliminant text d'indexació automàtica ocult
m Tipografia
Línia 50:
 
=== Exemple ===
Per exemplificar l'aplicació d'aquest procediment, {{nowrap|(3''x'' + 5)/(1 − 2''x'')<sup>2</sup>²}} es pot descompondre en la forma
 
: <math>\frac{3x + 5}{(1-2x)^2} = \frac{A}{(1-2x)^2} + \frac{B}{(1-2x)}.</math>
Línia 105:
: <math>f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3} =\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-1}</math>
 
Si es multiplica a la dreta per ''x''<sup>2</sup>² + 2''x'' - 3, s'obté la identitat polinomial:
 
: <math>1=A(x-1)+B(x+3)</math>
Línia 120:
: <math>f(x)=1+\frac{4x^2-8x+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}</math>
 
Com que (−4)<sup>2</sup>²&nbsp;−&nbsp;4(8) = −16 < 0, ''x''<sup>2</sup>² − 4''x'' + 8 és irreductible, i per tant:
 
: <math>\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+8}</math>
 
Si es passa a multiplicar ''x''<sup>3</sup> − 4''x''<sup>2</sup>² + 8''x'' a la dreta, s'obté la identitat polinomial:
 
: <math>4x^2-8x+16 = A(x^2-4x+8)+(Bx+C)x</math>
 
Prenent ''x'' = 0, es pot veure que 16 = 8''A'', so ''A'' = 2. Comparant els coeficients de ''x''<sup>2</sup>², s'obté que 4 = ''A'' + ''B'' = 2 + ''B'', per la qual cosa ''B'' = 2. Comparant els coeficients lineals (dit d'una altra manera, de ''x''<sup>0</sup>) s'obté que −8 = −4''A'' + ''C'' = −8 + ''C'', i per tant ''C'' = 0. Ajuntant-ho tot:
 
: <math>f(x)=1+2\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2-4x+8}\right)</math>
Línia 143:
: <math>\frac{2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x}{(x-1)^3(x^2+1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{Dx+E}{x^2+1}+\frac{Fx+G}{(x^2+1)^2}</math>
 
Multiplicant a les dues bandes per (''x''&nbsp;−&nbsp;1)<sup>3</sup>(''x''<sup>2</sup>² + 1)<sup>2</sup>² s'obté la identitat polinomial:
 
: <math>
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Descomposició_en_fraccions_parcials»