Llei de Hooke: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Bot elimina espais sobrants |
m Gestió de l'entitat nbsp |
||
Línia 20:
<math>U_k=\frac{1}{2} k{\delta}^2</math>
És important notar que la <math>k</math> abans definida depèn de la longitud de la molla i de la seva constitució.
<math>k=\frac{k_i}{L}</math>
Anomenarem <math>F(x)</math> a la tensió en una secció del moll situada una distància x d'un dels seus extrems que prenem com a origen de coordenades, <math>k_{\Delta x}</math> a la constant d'un petit tros de molla de longitud <math>\Delta x</math> a la mateixa distància i <math>\delta_{\Delta x}</math> l'allargament d'aquest petit tros en virtut de l'aplicació de la força.
<math>F(x)=-k_{\Delta x}\delta_{\Delta x}=-k_i\frac{\delta_{\Delta x}}{\Delta x}</math>
Línia 36:
<math>F\left(x\right)=-k_i\frac{d{\delta}}{dx}=-AE\frac{d\delta}{dx}</math>
que és l'equació diferencial de la molla.
<math>c=\sqrt{\frac{E}{\rho}}</math>
== Llei de Hooke en sòlids elàstics ==
A la mecànica de sòlids deformables elàstics la distribució de tensions és molt més complicada que en un ressort o una barra estirada només segons el seu eix.
<math>\sigma_{ij} = \sum_{k, l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,</math>
Línia 47:
Gran part de les estructures d'enginyeria són dissenyades per patir deformacions petites, s'involucren només en la recta del diagrama d'esforç i deformació.
De tal manera que la deformació <math>\epsilon</math>és una quantitat adimensional , el mòdul <math>E</math>s'expressa en les mateixes unitats que l'esforç <math>\sigma</math>(unitats pa, psi i ksi). El màxim valor de l'esforç per al qual pot emprar-se la llei de Hooke en un material és conegut com a límit de proporcionalitat d'un material.
=== Cas unidimensional ===
Línia 119:
=== Cas tridimensional ortòtrop ===
El comportament elàstic d'un material ortotròpic queda caracteritzat per nou constants independents: 3 mòduls d'elasticitat longitudinal <math>(E_x, E_y, E_z)</math>, 3 mòduls de rigidesa <math>(G_{xy}, G_{yz}, G_{zx})</math> i 3 coeficients de Poisson <math>(\nu_{xy}, \nu_{yx}, \nu_{zx})</math> .
<math>\begin{pmatrix}
Línia 148:
On: Com es pot veure les components que governen l'allargament i les que governen la distorsió estan desacoblades, la qual cosa significa que en general és possible produir allargaments al voltant d'un punt sense provocar distorsions i viceversa.
\frac{\nu_{zx}}{E_z} = \frac{\nu_{xz}}{E_x} \qquad
\frac{\nu_{yz}}{E_y} = \frac{\nu_{zy}}{E_z} \qquad (*)</math>
|