Llei de Hooke: diferència entre les revisions

65 octets eliminats ,  fa 2 mesos
m
Gestió de l'entitat nbsp
m (Bot elimina espais sobrants)
m (Gestió de l'entitat nbsp)
 
<math>U_k=\frac{1}{2} k{\delta}^2</math>
 
És important notar que la <math>k</math> abans definida depèn de la longitud de la molla i de la seva constitució.&nbsp; Definirem ara una constant intrínseca del ressort independent de la longitud d'aquest i establirem així la llei diferencial constitutiva d'un moll.&nbsp; Multiplicant&nbsp;<math>k</math> per la longitud total, i trucant al producte <math>k_i</math>&nbsp;o&nbsp;<math>k</math> intrínseca, es té:
 
<math>k=\frac{k_i}{L}</math>
 
Anomenarem <math>F(x)</math>&nbsp;a la tensió en una secció del moll situada una distància x d'un dels seus extrems que prenem com a origen de coordenades, <math>k_{\Delta x}</math> a la constant d'un petit tros de molla de longitud <math>\Delta x</math> a la mateixa distància i <math>\delta_{\Delta x}</math> l'allargament d'aquest petit tros en virtut de l'aplicació de la força.&nbsp; Per la llei de la molla completa:
 
<math>F(x)=-k_{\Delta x}\delta_{\Delta x}=-k_i\frac{\delta_{\Delta x}}{\Delta x}</math>
<math>F\left(x\right)=-k_i\frac{d{\delta}}{dx}=-AE\frac{d\delta}{dx}</math>
 
que és l'equació diferencial de la molla.&nbsp; Si s'integra per a tot&nbsp;, s'obté l'equació d'ona de l'[[Oscil·lador harmònic|oscil·lador hàrmonic simple]].&nbsp; La velocitat de propagació de les vibracions en un ressort es calcula com:
 
<math>c=\sqrt{\frac{E}{\rho}}</math>
 
== Llei de Hooke en sòlids elàstics&nbsp;==
A la mecànica de sòlids deformables elàstics&nbsp;la distribució de tensions és molt més complicada que en un ressort o una barra estirada només segons el seu eix.&nbsp; La&nbsp;deformació en el cas més general necessita ser descrita mitjançant un tensor de deformacions&nbsp;mentre que els esforços interns en el material necessiten ser representats per un tensor de tensions&nbsp;.&nbsp; Aquests dos tensors estan relacionats per equacions lineals conegudes per&nbsp;'''equacions d'Hooke generalitzades''' o&nbsp;'''equacions de Lamé-Hooke''' , que són les equacions constitutives que caracteritzen el comportament d'un sòlid elàstic lineal.&nbsp; Aquestes equacions tenen la forma general&nbsp;:
 
<math>\sigma_{ij} = \sum_{k, l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,</math>
Gran part de les estructures d'enginyeria són dissenyades per patir deformacions petites, s'involucren només en la recta del diagrama d'esforç i deformació.
 
De tal manera que la deformació&nbsp;<math>\epsilon</math>és una quantitat adimensional , el mòdul&nbsp;<math>E</math>s'expressa en les mateixes unitats que l'esforç&nbsp;<math>\sigma</math>(unitats pa, psi i ksi). El màxim valor de l'esforç per al qual pot emprar-se la llei de Hooke en un material és conegut com a límit de proporcionalitat d'un material.&nbsp; En aquest cas, els materials dúctils que posseeixen un punt de fluència definit; en certs materials no pot definir-se la proporcionalitat de fluència fàcilment, ja que és difícil determinar amb precisió el valor de l'esforç&nbsp;<math>\sigma</math>per al qual la similitud entre<math>\sigma</math> i <math>\epsilon</math>deixi de ser lineal.&nbsp; En utilitzar la llei de Hooke en valors més grans que el límit de proporcionalitat no conduirà a cap error significatiu.&nbsp; En resistència de materials s'involucra en les propietats físiques de materials, com a resistència, ductilitat i resistència de corrosió; que poden afectar a causa de l'aliatge, el tractament tèrmic i el procés de manufactura.
 
=== Cas unidimensional ===
 
=== Cas tridimensional ortòtrop ===
El comportament elàstic d'un material ortotròpic queda caracteritzat per nou constants independents: 3 mòduls d'elasticitat longitudinal&nbsp;<math>(E_x, E_y, E_z)</math>, 3 mòduls de rigidesa <math>(G_{xy}, G_{yz}, G_{zx})</math> i 3 coeficients de Poisson <math>(\nu_{xy}, \nu_{yx}, \nu_{zx})</math>&nbsp;.&nbsp; De fet per a un material ortotròpic la relació entre les components del tensor tensió i les components del tensor deformació&nbsp;ve donada per:
 
<math>\begin{pmatrix}
 
 
On: Com es pot veure les components que governen l'allargament i les que governen la distorsió&nbsp;estan desacoblades, la qual cosa significa que en general és possible produir allargaments al voltant d'un punt sense provocar distorsions i viceversa.&nbsp; Les equacions inverses que donen les deformacions en funció de les tensions prenen una forma una mica més complicada:<math>\frac{\nu_{yx}}{E_y} = \frac{\nu_{xy}}{E_x} \qquad
\frac{\nu_{zx}}{E_z} = \frac{\nu_{xz}}{E_x} \qquad
\frac{\nu_{yz}}{E_y} = \frac{\nu_{zy}}{E_z} \qquad (*)</math>
2.760.492

modificacions