Derivada segona: diferència entre les revisions

 

== Notació ==

 

La derivada segona d'una funció <math>f(x)\!</math> es nota normalment <math>f''(x)\!</math>. És a dir:

 

=== Punts d'inflexió ===

 

Si la derivada segona d'una funció canvia de signe, el gràfic de la funció canviarà de còncava a convexa, o viceversa. Un punt on això ocorre s'anomena un '''punt d'inflexió'''. Suposant que la derivada segona sigui continua, ha de prendre un valor zero en qualsevol punt d'inflexió, encara que no tots els punts on la derivada segona és zero són necessàriament punts d'inflexió.

 

=== Test de la derivada segona ===

La relació entre la segona derivada i el gràfic es pot fer servir per provar si un [[punt estacionari]] d'una funció (i.e. un punt on <math>f'(x)=0\!</math>) és un [[màxims i mínims|màxim local]] o un [[màxims i mínims|mínim local]]. Específicament

* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) < 0</math> llavors <math>\ f</math> té un màxim local a <math>\ x</math>.

== Generalització a dimensions superiors ==

=== El Hessià ===

 

La derivada segona es generalitza a dimensions superiors a través de la noció de [[derivada parcial|derivades parcials]] segones. Per a una funció ƒ:'''R'''³ → '''R''', aquests inclouen les tres derivades parcials de segon ordre

 

=== El laplacià ===

Una altra generalització comuna de la derivada segona és el '''laplacià'''. Aquest és l'operador diferencial <math>\nabla^2</math> definit per

:<math>\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.</math>