Revisió del 15:53, 25 set 2022 modifica EVA3.0 (bot) (discussió \| contribucions) Bots 3.418.547 edits m Tipografia Etiqueta: PAWS [2.1] ← Edició anterior		Revisió del 17:37, 25 oct 2022 modifica desfés EVA3.0 (bot) (discussió \| contribucions) Bots 3.418.547 edits m Tipografia Etiqueta: PAWS [2.1] Edició següent →
Línia 1: En [[àlgebra]], el '''grup de Klein''' o '''4-grup de Klein''' (de vegades designat ''V'' perquè el seu introductor, el matemàtic alemany [[Felix Klein]] l'anomenà ''Vierergruppe'' «4-grup») és un [[grup (matemàtiques)\|grup]] [[grup abelià\|abelià]] de quatre elements [[isomorf]] a ~~C<sub>2</sub>~~C₂ × ~~C<sub>2</sub>~~C₂, el [[producte directe]] de dues còpies del [[grup cíclic d'ordre dos]]. El grup de Klein és el [[grup (matemàtiques)\|grup]] d'[[ordre (matemàtiques)\|ordre]] (és a dir [[cardinalitat]]) més petit que no és [[grup cíclic\|cíclic]]. De fet hi ha dos grups no isomorfs d'ordre quatre: El de Klein i C₄, el cíclic d'ordre quatre. Quatre és l'ordre més petit per al qual això passa. Podeu veure-ho a la [[llista de grups petits]]. Línia 34: A més a més es coneixen altres propietats del grup de Klein: * És isomorf al producte directe de dos grups cíclics d'ordre dos ~~C<sub>2</sub>×C<sub>2</sub>~~C₂×C₂. Com que els grups cíclics sovint s'identifiquen amb el grup additiu de [[congruència sobre els enters\|les classes de residus]] (ℤ/''n''ℤ, +); el grup de Klein també es denota ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ, o alguna vegada ~~ℤ<sub>2</sub>×ℤ<sub>2</sub>~~ℤ₂×ℤ₂. A més, com que en aquest cas el producte directe es correspon amb la [[suma directa]] (és un [[producte cartesià]] finit) també s'escriu ℤ/2ℤ ⊕ ℤ/2ℤ. Si els elements de ℤ/2ℤ els escrivim ::<math>\Z/2\Z = \bigl\{ \bar 0 ,\bar 1\bigr\}</math> :com és habitual, llavors l'isomorfisme entre el grup ''V'' i ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ només cal que porti l'element neutre ''e'' a l'element neutre <math>(\bar 0, \bar 0)</math> de ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ. La taula del grup queda així: Línia 53: En [[teoria de Galois]], l'existència d'aquest subgrup de S₄ justifica la [[Teoria d'equacions\|resolubilitat]] de l'[[equació quàrtica]] per [[radical]]s. * En dues dimensions és el [[grup de simetries]] d'un [[rectangle]] o d'un [[rombe]]. Aquest grup també s'anomena [[grup dièdric]] d'ordre quatre i es denota ~~D<sub>2</sub>~~D₂ o D<sub>2,2</sub>. * El grup de Klein és isomorf al [[Grup dels elements invertibles\|grup multiplicatiu de les unitats]] de ℤ/8ℤ, format per *: <math>(\Z/8\Z)^{\ast} = \{ \bar 1, \bar 3, \bar 5, \bar 7\}.</math>

Grup de Klein: diferència entre les revisions