Interval (matemàtiques): diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
m retoc ref.
Cap resum de modificació
Línia 4:
Un '''interval obert''', és un interval que no inclou cap dels dos extrems, i un '''interval tancat''' és aquell que sí que els inclou.<ref>{{Ref-web|títol=Interval notation|url=https://www.math.net/interval-notation|consulta=2022-01-18}}</ref><ref name=:1>[https://mathworld.wolfram.com/Interval.html Interval] a MathWorld {{en}}</ref>
 
* S'utilitza la notació '''<math>[''a'',''b'']'''</math> quan un interval és tancat als seus dos extrems.
* S'utilitza la notació '''<math>\left]''a'',''b''\right['''</math> o '''<math>(''a'',''b'')'''</math> quan és obert en ambdós extrems.
* S'utilitza la notació '''(''<math>\left]a'',''b''\right]'''</math> o ''']''<math>(a'',''b'']'''</math> si és obert en l'extrem esquerre i tancat al dret, i paral·lelament, s'utilitza '''<math>\left[''a'',''b'')'''\right[</math> o '''<math>[''a'',''b''[''')</math> si és obert en l'extrem dret i tancat a l'esquerre.
 
Per exemple <math>(0,2)</math> es refereix al tram entre 0 i 2 que no inclou el zero ni el dos, però sí que conte tots els [[punts]] entre 0 i 2, fins i tot els que són molt propers a 0 i a 2.
 
Un altre exemple, l'interval <math>\left]-3,5\right]</math>, es refereix al tram des de -3 a 5, i inclou a tots els punts entre -3 i 5, amb l'excepció de -3, però sí que inclou el 5 i els punts molt propers a -3 per la dreta.
 
Un interval d'extrems ''a'' i ''b'' s'anomena '''interval propi''' si ''a'' < ''b''. De fet, si ''b'' < ''a'' l'interval sempre serà el [[conjunt buit]]. Quan ''a'' = ''b'', es poden donar dos casos: Si l'interval és tancat es dona {{nowrap|1= <math>[''a'',''a''] = \{ ''a''}}\}</math> i s'anomena '''interval degenerat''' o '''[[singletó]]'''. Si l'interval no és tancat llavors és el conjunt buit.
 
Els intervals on els dos extrems són [[nombres reals]] s'anomenen '''intervals [[Conjunt fitat|fitats]]'''. També es poden definir intervals que no tinguin extrem superior o inferior que s'anomenen '''no fitats'''. En aquest cas s'utilitza el [[símbol]] −[[∞]] per a l'extrem inferior o +[[∞]] per a l'extrem superior, que s'escriuen amb el [[claudàtor]] d'extrem obert perquè no són nombres reals, sinó símbols que no formen part de l'interval.<ref>{{Ref-web|títol=Interval Notation - Definition and Examples|url=https://www.basic-mathematics.com/interval-notation.html|consulta=2022-01-18}}</ref> Així, si ''a'' és un nombre real:
* L'interval tancat '''<math>\left[''a'',+\infty\right['''</math> o '''<math>[''a'',+\infty)'''</math> inclou tots els nombres reals més grans o iguals que ''a''.
* L'interval obert '''<math>\left]''a'',+\infty\right['''</math> o '''<math>(''a'',+\infty)'''</math> inclou tots els nombres reals més grans que ''a''.
* L'interval tancat '''<math>\left]−∞-\infty,''a''\right]'''</math> o '''<math>(−∞-\infty,''a'']'''</math> inclou tots els nombres reals més petits o iguals que ''a''.
* L'interval obert '''<math>\left]−∞-\infty,''a''\right['''</math> o '''<math>(−∞-\infty,''a'')'''</math> inclou tots els nombres reals més petits que ''a''.
 
De fet, també es pot escriure l'interval '''<math>\left]−∞-\infty,+\infty\right['''</math> o '''<math>(−∞-\infty,+\infty)'''</math> que es correspon amb tota la [[recta real]], és a dir, és igual a <math>\mathbb{R}</math>.
 
Els intervals es poden generalitzar de manera trivial a [[Subconjunt|subconjunts]] de la [[recta real estesa]]. Dins de la recta real estesa sí que té sentit escriure el claudàtor d'extrem tancat amb −∞ o +∞, però llavors deixen de ser intervals reals.
 
== Definició formal ==
SienSiguin <math>a, b \in \overline{\R}</math> dos elements de la [[recta real estesa]], es defineixen els següents '''intervals''' d'extrems ''<math>a''</math> i ''<math>b''</math>:<ref name=:0/>
* L''''interval tancat''' d'extrems ''a'', ''b'' és <math>[a,b] = \{ x \in \overline{\R} : a \leq x \leq b \}</math>.
* L''''interval obert''' d'extrems ''a'', ''b'' és <math>\left]a,b\right[ = (a,b) = \{ x \in \R : a < x < b \}</math>.
Línia 31:
* L''''interval obert per l'esquerra i tancat per la dreta''' d'extrems ''a'', ''b'' és <math>\left]a,b\right] = (a,b] = \{ x \in \overline{\R} : a < x \leq b \}</math>.
 
Sigui ''<math>I''</math> un interval, s'anomena interval real si ''<math>I'' ⊆ ℝ\subseteq\mathbb{R}</math>.
 
== Classificació ==
Línia 38:
Sien ''a'', ''b'' dos [[nombres reals]] amb ''a'' < ''b'':
 
* Buit: <math>[''b'',''a''] = \left]''b'',''a''\right[ = \left[''b'',''a''\right[ = \left]''b'',''a''\right] = \left]''a'',''a''\right[ = \left[''a'',''a''\right[ = \left]''a'',''a''\right] = \{\} = \varnothing</math>.
* Degenerat: <math>[''a'',''a''] = \{''a''\}</math>.<ref name=:1/>
* Propi:
** Fitat:
*** Obert: <math>\left]''a'',''b''\right[</math>.
*** Tancat: <math>[''a'',''b'']</math>.
*** Tancat per l'esquerra i obert per la dreta: <math>\left[''a'',''b''\right[</math>.
*** Obert per l'esquerra i tancat per la dreta: <math>\left]''a'',''b''\right]</math>.
** No fitat per la dreta:
*** Obert: <math>\left]''a'',+\infty\right[</math>.
*** Tancat: <math>\left[''a'',+\infty\right[</math>.
** No fitat per l'esquerra:
*** Obert: <math>\left]−∞-\infty,''b''\right[</math>.
*** Tancat: <math>\left]−∞-\infty,''b''\right]</math>.
** No fitat als dos extrems: <math>\left]−∞-\infty,+\infty\right[ =\mathbb{R}</math>. Aquest és un [[conjunt obert i tancat]].
 
== Propietats ==
* La '''longitud''' o '''[[mesura (matemàtiques)|mesura]]''' d'un interval fitat d'extrems ''<math>a''</math> i ''<math>b''</math> és la [[resta]] ''<math>a''−''-b''</math>. Si l'interval és [[conjunt buit|buit]], té longitud zero. Si l'interval no és fitat s'acostuma a dir que té longitud infinita.
* El '''centre''' d'un interval fitat és la [[mitjana aritmètica]] dels seus extrems, és a dir, si els extrems són ''<math>a''</math> i ''<math>b''</math>, el centre és <math>(''a''+''b'') / 2</math>.
* El '''radi''' d'un interval fitat és la meitat de la seva longitud.
* L''''[[interior (topologia)|interior]]''' d'un interval és l'interval obert amb els mateixos extrems.
* L''''[[adherència]]''' d'un interval és l'interval tancat amb els mateixos extrems.
* La '''[[frontera (matemàtiques)|frontera]]''' d'un interval no buit és el conjunt format pels seus extrems reals. Per exemple, <math>\partial( \left[−8-8,3\right[ ) = \{−8-8,3\}.</math>, <math>\partial( \left]−∞-\infty,0\right] ) = \{0\}.</math>, <math>\partial( \left]−∞-\infty,+\infty\right[ ) = \partial( \left]3,3\right[ ) = \varnothing</math>.
* Els intervals oberts són [[conjunts oberts]] de la [[topologia euclidiana]] (o [[Topologia (objecte matemàtic)|topologia]] estàndard) de <math>\mathbb{R}</math>, i de fet en formen una [[Base (topologia)|base]].
* Els intervals tancats són [[conjunts tancats]] de la topologia euclidiana de <math>\mathbb{R}</math>.
 
== Referències ==