Interval (matemàtiques): diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m retoc ref. |
Cap resum de modificació |
||
Línia 4:
Un '''interval obert''', és un interval que no inclou cap dels dos extrems, i un '''interval tancat''' és aquell que sí que els inclou.<ref>{{Ref-web|títol=Interval notation|url=https://www.math.net/interval-notation|consulta=2022-01-18}}</ref><ref name=:1>[https://mathworld.wolfram.com/Interval.html Interval] a MathWorld {{en}}</ref>
* S'utilitza la notació
* S'utilitza la notació
* S'utilitza la notació
Per exemple <math>(0,2)</math> es refereix al tram entre 0 i 2 que no inclou el zero ni el dos, però sí que conte tots els [[punts]] entre 0 i 2, fins i tot els que són molt propers a 0 i a 2.
Un altre exemple, l'interval <math>\left]-3,5\right]</math>, es refereix al tram des de -3 a 5, i inclou a tots els punts entre -3 i 5, amb l'excepció de -3, però sí que inclou el 5 i els punts molt propers a -3 per la dreta.
Un interval d'extrems ''a'' i ''b'' s'anomena '''interval propi''' si ''a'' < ''b''. De fet, si ''b'' < ''a'' l'interval sempre serà el [[conjunt buit]]. Quan ''a'' = ''b'', es poden donar dos casos: Si l'interval és tancat es dona
Els intervals on els dos extrems són [[nombres reals]] s'anomenen '''intervals [[Conjunt fitat|fitats]]'''. També es poden definir intervals que no tinguin extrem superior o inferior que s'anomenen '''no fitats'''. En aquest cas s'utilitza el [[símbol]] −[[∞]] per a l'extrem inferior o +[[∞]] per a l'extrem superior, que s'escriuen amb el [[claudàtor]] d'extrem obert perquè no són nombres reals, sinó símbols que no formen part de l'interval.<ref>{{Ref-web|títol=Interval Notation - Definition and Examples|url=https://www.basic-mathematics.com/interval-notation.html|consulta=2022-01-18}}</ref> Així, si ''a'' és un nombre real:
* L'interval tancat
* L'interval obert
* L'interval tancat
* L'interval obert
De fet, també es pot escriure l'interval
Els intervals es poden generalitzar de manera trivial a [[Subconjunt|subconjunts]] de la [[recta real estesa]]. Dins de la recta real estesa sí que té sentit escriure el claudàtor d'extrem tancat amb −∞ o +∞, però llavors deixen de ser intervals reals.
== Definició formal ==
* L''''interval tancat''' d'extrems ''a'', ''b'' és <math>[a,b] = \{ x \in \overline{\R} : a \leq x \leq b \}</math>.
* L''''interval obert''' d'extrems ''a'', ''b'' és <math>\left]a,b\right[ = (a,b) = \{ x \in \R : a < x < b \}</math>.
Línia 31:
* L''''interval obert per l'esquerra i tancat per la dreta''' d'extrems ''a'', ''b'' és <math>\left]a,b\right] = (a,b] = \{ x \in \overline{\R} : a < x \leq b \}</math>.
Sigui
== Classificació ==
Línia 38:
Sien ''a'', ''b'' dos [[nombres reals]] amb ''a'' < ''b'':
* Buit: <math>[
* Degenerat: <math>[
* Propi:
** Fitat:
*** Obert: <math>\left]
*** Tancat: <math>[
*** Tancat per l'esquerra i obert per la dreta: <math>\left[
*** Obert per l'esquerra i tancat per la dreta: <math>\left]
** No fitat per la dreta:
*** Obert: <math>\left]
*** Tancat: <math>\left[
** No fitat per l'esquerra:
*** Obert: <math>\left]
*** Tancat: <math>\left]
** No fitat als dos extrems: <math>\left]
== Propietats ==
* La '''longitud''' o '''[[mesura (matemàtiques)|mesura]]''' d'un interval fitat d'extrems
* El '''centre''' d'un interval fitat és la [[mitjana aritmètica]] dels seus extrems, és a dir, si els extrems són
* El '''radi''' d'un interval fitat és la meitat de la seva longitud.
* L''''[[interior (topologia)|interior]]''' d'un interval és l'interval obert amb els mateixos extrems.
* L''''[[adherència]]''' d'un interval és l'interval tancat amb els mateixos extrems.
* La '''[[frontera (matemàtiques)|frontera]]''' d'un interval no buit és el conjunt format pels seus extrems reals. Per exemple,
* Els intervals oberts són [[conjunts oberts]] de la [[topologia euclidiana]] (o [[Topologia (objecte matemàtic)|topologia]] estàndard) de
* Els intervals tancats són [[conjunts tancats]] de la topologia euclidiana de
== Referències ==
|