Diferència entre revisions de la pàgina «Coordenades generalitzades»

alguns retocs
m (→‎Alguns Exemples: -> exemples)
(alguns retocs)
Les '''coordenades generalitzades''' inclouensón qualsevol [[coordenada|sistema de coordenades]] utilitzat per a l'anàlisi d'un sistema físic. ÉsTot d'especiali utilitatque en laalguns [[formulacióproblemes lagrangiana]]poden i la [[formulació hamiltoniana]]. Aquest prové del període de temps en queser les [[coordenades cartesianes]]espacials erenhabituals els(''x'', sistema''y'', de''z''), coordenadesés estàndard.més Unhabitual sistemaque físicsiguin ambun n [[grausconjunt de llibertat]]variables potqualsevol serque descritdeterminin completament pel conjunt de lesunívocament l''n''estat coordenadesdel generalitzades: <math>\lbrace\mathbf{{q_i}}\rbrace</math>sistema.
 
L'estat del sistema pot ser descrit totalment per aquest [[sií]] totes les q<sub>i</sub> són coordenades independents. Això aporta una gran flexibilitat en el tractament de sistemes de gran complexitat, al poder traballar en el sistema de coordenades més idoni.
 
És d'especial utilitat en la [[formulació lagrangiana]] i la [[formulació hamiltoniana]]. El terme «generalitzades» prové del temps en què les [[coordenades cartesianes]] eren el sistema de coordenades estàndard. Un sistema físic amb ''n'' [[graus de llibertat]] pot ser descrit completament pel conjunt de les ''n'' coordenades generalitzades: {<i>q<sub>i</sub></i>}. L'estat del sistema pot ser descrit totalment per aquest conjunt [[si i només si]] totes les ''q<sub>i</sub>'' són coordenades independents. Això aporta una gran flexibilitat en el tractament de sistemes de gran complexitat, al poder traballar en el sistema de coordenades més idoni.
 
== Alguns exemples ==
Un '''pèndol doble''' que es mou en un pla pot ser descrit per les [[coordenades cartesianes]] <math>\lbrace x_1, y_1, x_2, y_2\rbrace</math>. Malgrat això, sabem que el sistema només te dos [[graus de llibertat]] i que per tant pot ser descrit més eficientment per dues coordenades:
 
<center>:<math>\lbrace q_1, q_2 \rbrace = \lbrace\theta_1,\theta_2 \rbrace \,</math>, definits mitjançant les següents relacions:<br>
 
<math>\lbrace x_1, y_1 \rbrace = \lbrace l_1\cos\theta_1, l_1\sin\theta_1 \rbrace</math><br>
definits mitjançant les següents relacions:
<math>\lbrace x_2, y_2 \rbrace = \lbrace l_1\cos\theta_1, l_1\sin\theta_1 \rbrace</math></center>
 
:<math>\lbrace x_1, y_1 \rbrace = \lbrace l_1\cos\theta_1, l_1\sin\theta_1 \rbrace \,</math><br>
:<math>\lbrace x_2, y_2 \rbrace = \lbrace l_1\cos\theta_1, l_1\sin\theta_1 \rbrace \,</math></center>
 
En el cas d'un ''Movimentmoviment restringuitrestringit ensobre una superfície esfèrica'''. En aquest cas també tenim dos graus de llibertat. En aquest cas podem fer servir dos angles, els corresponents a les [[coordenades esfèriques]]:
 
<center>:<math>\lbrace q_1, q_2 \rbrace = \lbrace \theta, \phi \rbrace \,</math>,</center>
 
En el cas de la superfície terrestre aquestes s'anomenen [[altitudlongitud]] i [[latitud]].
 
== Velocitats generalitzades ==
 
Cada coordenada generalitzada està associada a una velocitat generalitzada, ''<mathi>q<sub>i</sub>q_i</mathi>, que es defineix com:
 
<center>:<math>\dot q_i={dq_i \over dt}\,</math></center>
 
==Vegeu també==
*[[formulacióFormulació lagrangiana]]
*[[grausGrau de llibertat]]
 
[[Categoria:Física clàssica]]
11.651

modificacions