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{{caixa desplegable|align=left|títol=Demostracions|contingut=
:* '''IlExisteix existeuna une eti unenomés uniqueuna décompositiondescomposició de G en produitproducte de groupesgrups de ''p''<sub>i</sub>-torsions finifinit, à ld'un ordre prèsdonat.'''
:: ''ExistenceExistència''
LeEl théorèmeteorema de Kronecker limitelimita la démonstrationdemostració aual cas d'un groupegrup cycliquecíclic. En effetefecte, commecom toutque tot groupegrup abélienabelià finifinit estés un produitproducte de groupesgrups cycliquescíclics, eti com que leel produitproducte directdirecte d'un nombre finifinit de p-groupesgrups estés un p-groupegrup, illlavors suffitn'hi alorsha deprou amb regrouperreagrupar toustots lesels p-groupesgrups obtenusobtinguts.
 
LeEl [[Théorèmeteorema desxinès restesdel chinois|théorème chinoisresidu]] indiqueindica que si ''a'' eti ''b'' sontsón deuxdos entiersenters [[nombres premiersprimers entre eux|premiers entre euxells]] alorsllavors [[Anneaucongruència Z/nZsobre els enters|''Z''/''ab''.''Z'']] estés isomorpheisomorf àa ''Z''/''a''.''Z'' x ''Z''/''b''.''Z''. IlEl que permet deobtenir la conclureconclusió.
:: ''UnicitéUnicitat''
IlN'hi suffitha pourprou celaamb de remarquerfixar-se que leel ''p''<sub>i</sub>-groupegrup estestà forméformat despels éléments dontelements l'ordre estdels quals és uneuna puissancepotència de ''p''<sub>i</sub>.
:* '''IlExisteix existeuna uneúnica unique décompositiondescomposició de G en produitproducte de cyclescicles d'ordre uneuna puissancepotència d'un nombre premierprimer.'''
La propositionproposició précédenteprecedent limitelimita la démonstrationdemostració àa l'existenceexistència eti l'unicitéla unicitat d'uneuna décompositiondescomposició en produitproducte directdirecte de cyclescicles per poura un ''p''-groupegrup.
 
: L'existenceexistència estés uneuna conséquenceconseqüència directedirecta dudel théorèmeteorema de Kronecker.
: La unicitat es demostra per inducció.
: L'unicité se démontre par récurrence.
:: Si leel p-groupegrup estés de cardinal ''p'', alorsllavors ilno n'admet pascap desubgrup sous-groupei etla saseva décompositiondescomposició estés uniqueúnica.
:: SupposonsSuposant laque démonstrationes établiecompleix àper l'ordre ''p''<sup>k</sup>, montronses qu'elledemostra estque aussiés vraieverdadera àper l'ordre ''p''<sup>k + 1</sup>. SoitSigui ''p''<sup>l</sup> l'[[exposantexponent d'un groupegrup|exposantexponent]] dudel ''p''-groupegrup, toutetota décompositiondescomposició en produitproducte de cyclecicles contientconté au moinsalmenys un groupegrup cycliquecíclic d'ordre ''p''<sup>l</sup> eti neno contientconté aucuncap cyclecicle d'ordre ''p''<sup>m</sup> avecamb ''m'' > ''l'' (sinonsi no l'exposantexponent seraitseria égaligual àa ''p''<sup>m</sup>). La démonstrationdemostració dudel théorèmeteorema de Kronecker montremostra qu'ilque existeexisteix uneuna uniqueúnica décompositiondescomposició dudel ''p''-groupegrup en un groupegrup cycliquecíclic d'ordre ''p''<sup>l</sup> eti d'un sous-groupesubgrup ''G'. ''LLa hipòtesi d'hypothèseinducció demostra récurrencela montre l'unicitéunicitat de la décompositiondescomposició dudel groupegrup ''G' ''eti terminefinalitza la démonstrationdemostració.
:* '''Il existeExisteix un sous-groupesubgrup de ''G'' d'ordre ''d''.'''
SoitSigui ''g'' l'ordre dudel groupegrup ''G'', leel théorèmeteorema de Kronecker indiqueindica qu'ilque existeexisteix un isomorphismeisomorfisme entre ''G'' eti un produitproducte de cycles cicles:
<center><math>G \approx \prod_i C_i </math></center>
soitsigui ''c''<sub>i</sub> l'ordre de ''Cc''<sub>i</sub>, leel produitproducte desdels ''c''<sub>i</sub> estés égaligual àa ''g'', doncper iltant existeexisteix uneuna famillefamília d'entiersenters ''d''<sub>i</sub> teltal que ''d''<sub>i</sub> diviseés divisor de ''c''<sub>i</sub> eti que leel produitproducte desdels ''d''<sub>i</sub> soités égaligual àa ''d''. Il existeExisteix un sous-groupesubgrup ''D''<sub>i</sub> de ''C''<sub>i</sub> d'ordre ''d''<sub>i</sub> ''(cf troisième proposition du paragraphe [[Groupe cyclique#Théorème fondamental|Théorème fondamental]] de l'article [[Groupe cyclique]])''. LeEl produitproducte desdels sous-groupessubgrups ''D''<sub>i</sub> estés isomorpheisomorf àa un sous-groupesubgrup de ''G'' d'ordre ''d''.
 
 
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