Diferència entre revisions de la pàgina «Grup abelià finit»

257 octets eliminats ,  fa 12 anys
{{Principal|Aritmètica modular|Símbol de Legendre}}
[[Image:Dirichlet.jpg|thumb|160px|left|Gustav Lejeune Dirichlet]]
UneUna structureestructura largementàmpliament utiliséutilitzat en [[théorieteoria algébriquealgebraica desdels nombres]] estés cellela de l'[[Anneauanell Z/nZ|''Z''/p''Z'']] eti en particular particulièrementel sonseu [[groupeUnitat des(àlgebra)|grup de les unitésunitats]]. CetteAquest approcheenfocament estés la base de l'arithmétiquearitmètica modulairemodular. Si p estés un [[nombre premier]]primer, alorsllavors leel groupegrup multiplicatifmultiplicatiu estés cycliquecíclic d'ordre ''p'' - 1. DansEn leel cas contrairecontrari, leel grup de groupeles desunitats unitésés estpel encorecapbaix abélienabelià eti finifinit.
 
IlAjuda aide àa la résolutionresolució d'[[équation diophantienne|équationsequacions diophantiennesdiofàntiques]] commecom leel [[petit théorèmeteorema de Fermat]], ainsiaixí quecom la généralisationgeneralització d'[[Théorèmeteorema d'Euler (nombres)|Euler]]. IlTambé estes aussifa utiliséservir dansen la démonstrationdemostració dudel [[théorèmeteorema desdels deuxdos carrésquadrats de Fermat]] parde [[Richard Dedekind]].
 
L'analyseanàlisi harmoniqueharmònica sursobre lesels groupesgrups abéliensabelians finisfinits possèdenttambé aussi denombroses nombreuses applicationsaplicacions en arithmétiquearitmètica. ElleCorresponen correspondent àa la formalisationformalització modernemoderna de résultats démontrésresultats pardemostrats desper mathématiciensmatemàtics commecom [[Carl Friedrich Gauss]] {{mida|1=([[1777 en science|1777]] [[1855 en science|1855]])}} ouo [[Adrien-Marie Legendre]] {{mida|1=([[1752]] [[1833 en science|1833]])}}. LeEl [[symbolesímbol de Legendre]] apparaitapareix maintenant commecom un caractèrecaràcter d'un groupegrup cycliquecíclic, doncper tant abélienabelià eti finifinit, àamb valeurvalors dansen {-1, 1}. Les [[somme de Gauss|sommessumatori]]s ouo lesels [[périodeperíode de Gauss|périodesperíodes de Gauss]] s'exprimeexpressen aussitambé àamb l'aideajuda de caractèrescaràcters sursobre un groupegrup abélienabelià finifinit, ceel quique permet de les calculercalcular-los. CetteAquest approcheenfocament estés àa la base d'uneuna démonstrationdemostració de la [[loillei de réciprocitéreciprocitat quadratiquequadràtica]].
 
[[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] {{mida|1=([[1805 en science|1805]] - [[1859 en science|1859]])}} s'intéresseinteressa àper uneuna conjectureconjectura de Gauss eti Legendre : toutetota classe dudel [[groupegrup desde les unitésunitats]] de l'[[anneauanell Z/nZ]] contientconté uneuna infinitéinfinitat de nombres premiersprimers. [[Leonhard Euler]] {{mida|1=([[1707]] - [[1783]])}} proposeproposa bienun une méthodemètode, àa traverstravés ledel [[produitproducte eulériend'Euler]] pourper répondrerespondre, cependanttanmateix lesels nombres premiersprimers recherchéscercats sontes touslocalitzen localiséstots dansen uneuna uniqueúnica classe. Dirichlet utilisefa servir l'analyseanàlisi harmoniqueharmònica pourper démontrerdemostrar ceaquest théorèmeteorema maintenantara connuconegut soussota leel nom de [[théorèmeteorema de la progressionprogressió arithmétiquearitmètica]]. SesEls travauxseus sonttreballs fondateurssón deels que van donar lloc a la [[théorieteoria analytiqueanalítica desdels nombres]].
 
=== Teoria de Galois ===
15.103

modificacions