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[[Image:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|right|150px|Carl Friedrich Gauss]]
[[Image:Heptadecagone.jpg|thumb|left|200px|Construction de l'Heptadécagone]]
Els grups abelians finits tenen un paper particular en la teoria de Galois. UneUna conséquenceconseqüència dudel théorèmeteorema d'Abel-Ruffini est que tout [[polynôme]] ayant un [[groupe de Galois]] abélien est résoluble par radicaux. La réciproque est un peu plus complexe, le groupe ne doit pas être nécessairement abélien mais [[groupe résoluble|résoluble]]. Le [[corps de décomposition]] d'un tel polynôme est une [[extension abélienne]], c'est-à-dire une extension dont le groupe de Galois est abélien. Ce résultat rend donc les extensions abéliennes et leur groupe particulièrement intéressant. C'est la raison pour laquelle les mathématiciens du {{XIXe siècle}} ont cherché à démontrer le théorème de Kronecker-Weber avec tant d'assiduité.
 
Bien avant les découvertes de Galois Kronecker et Weber, Gauss avait utilisé un cas particulier : l'[[polynôme cyclotomique|équation cyclotomique]] d'indice 17 pour trouver une méthode de [[construction à la règle et au compas]] de l'heptadécagone, c'est-à-dire du polygone régulier à 17 cotés. Le fait que le groupe de Galois du polynôme soit abélien est un élément essentiel de la méthode.
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