Viquipèdia

Bola (matemàtiques): diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
Línia 18:
 
== Boles en espais vectorials amb norma ==
[[File:Vector norms.svg|thumb|Representació de les boles de ℝ² en les normes ''L''<sub>1</sub>, ''L''<sub>2</sub> (norma euclidiana) i ''L''<sub>∞</sub>]]
Qualsevol [[espai vectorial normat]] <math>V</math> amb la [[norma (matemàtiques)|norma]] <math>\left|lVert\cdot\right|rVert</math> tamétambé és un espai mètric, amb la mètrica <math>d(x,y) = \left|lVert x - y\right|rVert</math>. En aquests espais, cada bola <math>B_r(p)</math> és una copiacòpia de la bola unitat <math>B_1(0)</math>, aplicant-li un factor d'escala <math>r</math> i una translació <math>p</math>.
 
=== Norma euclidiana ===
En particular, si <math>V</math> és un [[espai euclidià]] ''n'' dimensional amb la [[distància euclidiana]] ordinària, cada bola és l'interior d'una [[hiperesfera]] (una '''hiperbola'''). És a dir és un [[interval (matemàtiques)|interval]], quan ''n''=1, l'interior d'una [[circumferència]] (un '''[[cercle]]''') quan ''n''=2, i l'interior d'una [[esfera|superfície esfèrica]] quan ''n''=3.
 
===P''p''-norma===
En l'[[espai cartesià]] <math>\R^n</math> amb la [[Norma (matemàtiques)#p-norma|p-norma]] ''L''<sub>''p''</sub>, una bola oberta és el conjunt
: <math>B(r) = \{ x \in \R^n : \sum_{i=1}^{n} \left|x_i\right|^p < r^p \}</math>
 
Pel cas particular de ''n''=2, les boles de ''L''<sub>1</sub> són quadrats amb les diagonals paraleparalel·les als eixos de coordenades;
les de ''L''<sub>∞</sub> (la mètrica de [[distància de Chebyshev|Chebyshev]]) són quadrats amb els costats paral·lels als eixos de coordenades (vegeu-ho al gràfic adjunt). Per altres valors de ''p'', les boles són l'interior de [[corba de Lamé|corbes de Lamé]] (hipoel·lipses o hiperel·lipses).
 
Per ''n''=3, les boles de ''L''<sub>1</sub> són contàedres amb les diagonals del cos alineades amb els eixos, les de ''L''<sub>∞</sub> són cubs amb arestes alineades amb els eixos, i les de ''L''<sub>''p''</sub> amb ''p> 2'' són [[superel·lipsoide]]s.
 
=== Norma general convexa ===
De forma més general, donat qualsevol subconjunt [[simetria central|centralment simètric]], [[conjunt fitat|fitat]], [[conjunt obert|obert]], i [[conjunt convex|convex]] <math>X</math> ofde <math>\R^n</math>, es pot definir una [[norma (matemàtiques)|norma]] en <math>\R^n</math> on les boles són copiescòpies de <math>X</math> aplicant-los una translació i un factor d'escala. Fixeu-vos que aquest teorema no és cert si subconjunt "obert" es substitueix per subconjunt "tancat", perquè el punt origen qualifica però no defineix una norma a <math>\R^n</math>.
 
== Boles topològiques ==
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Bola_(matemàtiques)»