Ideal (matemàtiques): diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m · |
mCap resum de modificació |
||
Línia 1:
{{FR}}
Un '''ideal''' d'un [[anell (Matemàtiques)|anell]] ''A'' és un [[subconjunt]] ''I'' d'elements de ''A'' que és tancat respecte a [[operació lineal|operacions lineals]] i que compleix una sèrie de condicions que detallarem a continuació. Per permetre l'aplicació a anells no commutatius, es defineixen ''ideals per l'esquerra'' i ''ideals per la dreta''. Els ideals per les dues bandes (d'anells commutatius, doncs) s'anomenen simplement ideals.
Definim doncs, '''ideal per l'esquerra''':
* l'[[element neutre]] de ''A'' pertany a ''I'',
* per a tot ''a'', ''b'' de ''I'', es compleix que ''a'' + ''b'' pertany a ''I'',
* per a tot ''a'' de ''I'' i ''r'' de ''A'', es compleix que ''r''·''a'' pertany a ''I''.
Linha 11 ⟶ 12:
* per a tot ''a'' de ''I'' i ''r'' de ''A'', es compleix que ''a''·''r'' pertany a ''I''.
Fixem-nos que l'única diferència està en la darrera condició, on intervé l'operació producte (·) i que en ambdós casos les dues primeres condicions
El concepte d'ideal fou proposat per primera vegada per [[Richard Dedekind]] el [[1876]] a la tercera edició del seu llibre ''Vorlesungen über Zahlentheorie'' ("Lliçons sobre teoria dels nombres"). Era una generalització del concepte de [[nombre ideal]] desenvolupat per [[Ernst Kummer]]. Més endavant la idea fou ampliada per [[David Hilbert]] i especialment [[Emmy Noether]].
== Exemples ==
* Els [[nombre enter|nombres enters]] parells formen un ideal de l'anell dels enters ('''Z'''); normalment es representa com 2'''Z'''.
* El conjunt de tots els [[polinomi]]s de coeficients reals divisibles pel polinomi ''x''<sup>2</sup> + 1 és un ideal de l'anell dels polinomis.
| |||