Conjunt convex: diferència entre les revisions

m
pertany a <math>S</math>. Tot vector d'aquest tipus s'anomena [[combinació convexa]] de <math>u_1,u_2,\ldots,u_r</math>.
 
La [[intersecció]] de qualsevol col·lecció de conjunts convexos s'és convexa, així els subconjunts convexos d'un espai vectorial (real o complex) formen un [[reticle (matemàtiques)|reticle]] complet. Això també significa que qualsevol per a qualsevol subconjunt ''A'' de l'espai vectorial existeix el conjunt convex més petit que el conté (anomenat l'[[embolcall convex]] d' ''A''), és a dir que és la intersecció de tots els conjunts convexos que contenen ''A''.
 
Els conjunts convexos [[conjunt tancat|tancats]] es poden caracteritzar com les interseccions de [[semiespai]]s tancats (conjunts de punts de l'espai que són o bé damunt o bé a un costat d'un hiperplà). A partir del que s'acaba de dir, és clar que tals interseccions són convexes, i també seran conjunts tancats. Per demostrar el reciproc, és a dir que cada conjunt convex es pot representar com una intersecció d'aquest tipus, es necessita el [[teorema del hiperplà de suport]] en la forma que per a un conjunt convex tancat ''C'' donat i un punt ''P'' extern al conjunt, hi ha un semiespai tancat ''H'' que conté ''C'' i no ''P''. El teorema del hiperplà de suport és un cas especial del [[teorema Hahn-Banach]] de l'[[anàlisi funcional]].