Fórmules de Viète: diferència entre les revisions

m
Bot: substitució ’ → ', “ i ” → ", l•l → l·l, 9kg → 9 kg, km2 → km²
m (Robot insereix {{ORDENA:Formules de Viete}})
m (Bot: substitució ’ → ', “ i ” → ", l•l → l·l, 9kg → 9 kg, km2 → km²)
En [[matemàtiques]], més específicament en [[àlgebra]], les '''fórmules de Viète''', anomenades així en honor de [[François Viète]], són [[Fórmula (lògica)|formules]] que relacionen les [[arrel (matemàtiques)|arrels]] d’und'un [[polinomi]] amb els seus coeficients.
 
== Les fórmules ==
 
És un polinomi de grau <math>n\ge 1</math> amb coeficients [[nombre complex|complexos]]
(per tant, els nombres <math>a_0, a_1, \dots, a_{n-1}, a_n</math> són complexos amb <math>a_n\ne 0</math>), pel [[teorema fonamental de l’àlgebral'àlgebra]] <math>P(X)</math> té <math>n</math> (no necessàriament diferents) arrels complexes <math>x_1, x_2, \dots, x_n.</math> Les fórmules de Viète estableixen que
 
:<math>\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\
== Exemple ==
 
Per al [[polinomi|polinomi de segon grau]] <math>P(X)=aX^2 + bX + c</math>, les fórmules de Viète estableixen que les solucions <math>x_1</math> i <math>x_2</math> de l’equaciól'equació <math>P(X)=0</math> satisfan
:<math> x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.</math>
 
La primera d’aquestesd'aquestes equacions es pot er servir per a trobar el mínim (o el màxim) de ''P''. Vegeu [[Equació de segon grau#Fórmules de Viète|Equació de segon grau]].
 
== Demostració ==
: <math>a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0 = a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)</math>
 
(que és certa donat que <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> són totes les arrels d’aquestd'aquest polinomi), multiplicant els factors del cantó dret, i identificant els coeficients de cada potència de <math>X.</math>
 
== Vegeu també ==
169.577

modificacions