Diferència entre revisions de la pàgina «Integral impròpia»

m
Bot: substitució ’ → ', “ i ” → ", l•l → l·l, 9kg → 9 kg, km2 → km²
m (Bot: substitució ’ → ', “ i ” → ", l•l → l·l, 9kg → 9 kg, km2 → km²)
 
 
Els extrems infinits del interval o els punts de l’intervall'interval on la funció tendeix a infinit es diuen punts singulars.
 
La forma per poder calcular una integral en el cas que l’intervall'interval d’integraciód'integració tingui punts singulars segueix dos passos:
 
Primer es transforma en una suma d’integralsd'integrals definides de forma que els extrems dels intervals d’integraciód'integració coincideixin com a màxim amb un punt singular i que no hi hagi cap punt singular dins dels intervals.
 
Desprès es defineix el valor d’unad'una integral impròpia sobre un interval amb un punt singular en un dels extrems com el límit de una integral pròpia quant l’extreml'extrem tendeix al punt singular pel cantó del interior de l’intervall'interval.
Per exemple, si la funció <math>f(x)</math> tendeix a infinit en el punt 3, la integral:
 
\end{align}</math>
 
Si tots aquests límits existeixen (són finits) llavors la integral impròpia existeix i és igual al valor que s’obtés'obté en calcular els límits i sumar-los. En aquest cas es diu que la integral impròpia és convergent.
Si alguns límits tendeixen a <math>+\infty </math> i d’altresd'altres a <math>-\infty </math> vegeu l'apartat de "valor principal de Cauchy més avall.
 
== Exemples==
Per tant la integral no existeix.
 
==Questions d’interpretaciód'interpretació==
 
Hi ha més d’unad'una teoria matemàtica de la [[integració]]. Des del punt de vista del [[càlcul]], la [[integral de Riemann]] és la teoria que se suposa que es fa servir si no es diu res. A l’horal'hora d’estudiard'estudiar les integrals impròpies, pot ser important saber quina és la teoria que s’estàs'està emprant.
 
En el cas de la integral
:<math>\lim_{b\to\infty}\int_0^b\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{b\to\infty}\arctan{b}=\frac{\pi}{2},</math>
 
Però no ''necessàriament'' s’has'ha d’interpretard'interpretar així, també es pot interpretar com la [[integral de Lebesgue]] sobre el conjunt (0, &infin;). En aquest cas no es tractaria d’unad'una integral impròpia (dons sí que està definida i per tant no cal estendre la definició d’integrald'integral) i la utilització del límit només seria un eina per a calcular el valor que té la integral.
 
En canvi,
==Valor principal de Cauchy==
{{principal|Valor principal de Cauchy}}
La definició d’integrald'integral impròpia encara es pot estendre més en el cas en què l'integral d’unsd'uns subintervals tendeixi a infinit i la d’unad'una altres a menys infinit (per tant d’acordd'acord amb la definició donada al començament no existiria la integral impròpia) la suma de límits no existeix, però, de vegades, el límit de la suma si que existeixi.
 
Aquest és un altre cas d'integrals impròpies "pròpiament dites" (perquè tampoc es poden interpretar com a integrals). Aquest cas té el problema de què depenent de com es calculi el límit donen valors diferents.
169.577

modificacions