Diferència entre revisions de la pàgina «Màxims i mínims»

m
Bot: substitució ’ → ', “ i ” → ", l•l → l·l, 9kg → 9 kg, km2 → km²
m (Bot: substitució ’ → ', “ i ” → ", l•l → l·l, 9kg → 9 kg, km2 → km²)
==Definicions==
 
D’unaD'una funció real ''f' defiida en la [[recta real]] es diu que té un '''màxim local''' al punt ''x''<sup>&lowast;</sup>, si existeix algun &epsilon; > 0, tal que ''f''(''x''<sup>&lowast;</sup>) &ge; ''f''(''x'') per a tot ''x'' tal que |''x'' − ''x''<sup>&lowast;</sup>| < &epsilon;. Del valor de la funció en aquest punt se’n diu '''màxim''' de la funció.
 
En la [[gràfica d'una funció]], els seus màxims locals tenen l’aspectel'aspecte de cims dels turons.
 
De forma similar, una funció té un '''mínim local''' a ''x''<sup>&lowast;</sup>, si ''f''(''x''<sup>&lowast;</sup>) &le; ''f''(''x'') per a tot ''x'' tal que |''x'' − ''x''<sup>&lowast;</sup>| < &epsilon;. Del valor de la funció en aquest punt se’n diu '''mínim''' de la funció.
 
En la gràfica de la funció, els seus mínims tenen l’aspectel'aspecte de fons de les valls.
 
Una funció té un '''màxim global''' a ''x''<sup>&lowast;</sup>, si ''f''(''x''<sup>&lowast;</sup>) &ge; ''f''(''x'') per a tot ''x''.
Una funció real [[funció contínua|contínua]] sobre un [[conjunt compacte]] sempre té máxim i mínim en el conjunt. Un exemple important és una funció el domini de la qual és un [[intèrval]] real tancat i afitat (vegeu la gràfica de més amunt). El requisit de què hi hagi un entorn del punt, impedeix que els extrems locals es puguin donar en els punts finals o inicials d'un interval. Així no és ''sempre veritat'', pel cas de dominis finits que els extrems globals hagin de ser també extrems locals.
 
''Terminologia'': El terme '''òptim''', depenent del context pot substituir, un o tots dos, els termes '''màxim''' o '''mínim'''. Alguns problemes d’optimitzaciód'optimització busquen un màxim global mentre que d’altresd'altres busquen un mínim.
 
==Trobar màxims i mínims==
Això dona una condició necessària però no suficient per a que en un punt una funció tingui un extrem local: que la seva derivada sigui zero, per tant derivar la funció i plantejar l'equació de què la seva derivada sigui igual a zero permet de trobar els punts candidats a ser els extrems.
 
Llavors cal identificar quins d’aquestd'aquest punts (punts estacionaris) corresponen a màxims, quins corresponen a mínims i quins a [[punt d'inflexió|punts d'inflexió]]. Això es fa amb el [[test de la derivada segona]] i successives.
Per a trobar el màxim o el mínim absolut d’unad'una [[funció definida a trossos]], es troben els màxims i mínims relatius a cada tros i els valors als extrems; llavors es busca quin és el valor més gran de tots per a trobar el màxim absolut (o el més petit per a trobar el mínim absolut).
 
==Exemples==
* La funció 2 cos(''x'') − ''x'' té infinits màxims i mínims locals, però no té màxim ni mínim globals.
* La funció cos(3&pi;''x'')/''x'' amb 0.1&nbsp;&le;&nbsp;''x''&nbsp;&le;&nbsp;1.1 té un màxim global a ''x''&nbsp;= 0.1 (una frontera), un mínim global a prop de ''x''&nbsp;= 0.3, un màxim local aprop de ''x''&nbsp;= 0.6, i un mínim local a prop de ''x''&nbsp;= 1.0. (Vegeu figura del cap de la pàgina.)
* La funció ''x''<sup>3</sup> + 3''x''<sup>2</sup> − 2''x'' + 1 definida a l’intervall'interval tancat (segment) [−4,2] té: un màxim local a ''x'' = −1−<sup>&radic;15</sup>&frasl;<sub>3</sub>, un mínim local a ''x'' = −1+<sup>&radic;15</sup>&frasl;<sub>3</sub>, un màxim global a ''x'' = 2 i un mínim global a ''x'' = −4. (Vegeu figura de la dreta)
 
==Funcions de varies variables==
Per a funcions de més d’unad'una variable, s’apliquens'apliquen consideracions similars.
 
[[Fitxer:Maximum_boxed.png|thumb|right|Superfície paraboloide amb un màxim marcat]]
169.577

modificacions