Màxims i mínims: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Bot: substitució ’ → ', “ i ” → ", l•l → l·l, 9kg → 9 kg, km2 → km² |
|||
Línia 4:
==Definicions==
En la [[gràfica d'una funció]], els seus màxims locals tenen
De forma similar, una funció té un '''mínim local''' a ''x''<sup>∗</sup>, si ''f''(''x''<sup>∗</sup>) ≤ ''f''(''x'') per a tot ''x'' tal que |''x'' − ''x''<sup>∗</sup>| < ε. Del valor de la funció en aquest punt se’n diu '''mínim''' de la funció.
En la gràfica de la funció, els seus mínims tenen
Una funció té un '''màxim global''' a ''x''<sup>∗</sup>, si ''f''(''x''<sup>∗</sup>) ≥ ''f''(''x'') per a tot ''x''.
Línia 25:
Una funció real [[funció contínua|contínua]] sobre un [[conjunt compacte]] sempre té máxim i mínim en el conjunt. Un exemple important és una funció el domini de la qual és un [[intèrval]] real tancat i afitat (vegeu la gràfica de més amunt). El requisit de què hi hagi un entorn del punt, impedeix que els extrems locals es puguin donar en els punts finals o inicials d'un interval. Així no és ''sempre veritat'', pel cas de dominis finits que els extrems globals hagin de ser també extrems locals.
''Terminologia'': El terme '''òptim''', depenent del context pot substituir, un o tots dos, els termes '''màxim''' o '''mínim'''. Alguns problemes
==Trobar màxims i mínims==
Línia 32:
Això dona una condició necessària però no suficient per a que en un punt una funció tingui un extrem local: que la seva derivada sigui zero, per tant derivar la funció i plantejar l'equació de què la seva derivada sigui igual a zero permet de trobar els punts candidats a ser els extrems.
Llavors cal identificar quins
Per a trobar el màxim o el mínim absolut
==Exemples==
Línia 45:
* La funció 2 cos(''x'') − ''x'' té infinits màxims i mínims locals, però no té màxim ni mínim globals.
* La funció cos(3π''x'')/''x'' amb 0.1 ≤ ''x'' ≤ 1.1 té un màxim global a ''x'' = 0.1 (una frontera), un mínim global a prop de ''x'' = 0.3, un màxim local aprop de ''x'' = 0.6, i un mínim local a prop de ''x'' = 1.0. (Vegeu figura del cap de la pàgina.)
* La funció ''x''<sup>3</sup> + 3''x''<sup>2</sup> − 2''x'' + 1 definida a
==Funcions de varies variables==
Per a funcions de més
[[Fitxer:Maximum_boxed.png|thumb|right|Superfície paraboloide amb un màxim marcat]]
|