Polinomi característic: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
mCap resum de modificació |
mCap resum de modificació |
||
Línia 48:
==Propietats==
El polinomi ''p''<sub>''A''</sub>(''t'') es mònic (el seu coeficient dominant és 1) i de grau ''n''. El fet més important sobre el polinomi característic ja fou anomenat en el paràgraf de motivació: els valors propis d'''A'' són precisament les arrels de ''p''<sub>''A''</sub>(''t''). El coeficient constant ''p''<sub>''A''</sub>(0) és igual a (−1)<sup>''n''</sup> vegades el determinant d'''A'', i el coeficient de ''t''<sup> ''n'' − 1</sup> és igual a -tr(''A''), la [[traça]] d' ''A''. Per a una matriu ''A'' de 2×2, el polinomi característic es pot expressar como: ''t''<sup> 2</sup> − tr(''A'')''t'' + det(''A'').
Tots els polinomis reals de grau senar ténen almenys un nombre real com a arrel, així que per a tot ''n'' senar, toda matriu real té al menys un valor propi real. La majoria dels polinomis reals de grau parell no ténen arrels reals, però el [[teorema fonamental de l'àlgebra]] diu que tot polinomi de grau n té n arrels compplexes, comptades amb les seves multiplicitats. Les arrels no reals de polinomis reals, per tant valors propis no reals, apareixen en parells conjugats.
| |||