Polinomi característic: diferència entre les revisions

En l'[[àlgebra lineal]], s'associa un [[polinomi]] a cada [[matriu quadrada]] anomenat '''polinomi característic'''. Aquest polinomi conté una gran quantitat d'informació sobre la [[matriu (matemàtiques)|matriu]], els més significatius són els [[valor propi|valors propis]], el seu [[determinant]] i la seva [[traça]].

Donada una matriu quadrada ''A'', volem trobar un polinomi tal que les seves arrels siguin precisament els valors propis de d'''A''. Per a una [[matriu diagonal]] ''A'', el polinomi característic és fàcil de definir: si els elements de la diagonal són <math>x_i</math> per a <math>i=1..N </math>, el polinomi característic en la indeterminada <math>t</math> és

Per a una matriu ''A'' genèrica, es pot procedir de la següent forma: Si &lambda; és un valor propi de d'''A'', aleshores existeix un vector propi '''v'''&ne;'''0''' tal que

(on '''''I''''' és la [[matriu identitat]]). Com que '''v''' és no nul, la matriu &lambda;'''''I''''' − ''A'' és [[matriu singular|singular]], la qual cosa implica que el seu [[determinant]] és 0. Acabem de veure que les arrels de la funció [[determinant|det]](''A''-''t'' '''''I''''') sénsón els valors propis d'''A''. ComoCom que aquesta funció és un polinomi en ''t'', ja estàhem trobat el polinomi que cercàvem.

on '''''I''''' denota la [[matriu identitat]] ''n''-per-&times;''n''.

Alguns autors defineixen el polinomi característic comocom el det(''t'' '''''I'''''-''A''); la diferència és immaterialintranscendent ja que els dos polinomis únicament es diferencien en el seu signe.

El polinomi ''p''_''A''(''t'') es mònic (el seu coeficient dominant és 1) i de grau ''n''. El fet més important sobre el polinomi característic ja fou anomenat en el paràgraf de motivació: els valors propis d' ''A'' són precisament les arrels de ''p''_''A''(''t''). El coeficient constant ''p''_''A''(0) és igual a (−1)^''n'' vegades el determinant d'''A'', i el coeficient de ''t''^{''n'' − 1} és igual a -tr(''A''), la [[traça]] d' ''A''. Per a una matriu ''A'' de 2&times;2, el polinomi característic es pot expressar comocom: ''t''² − tr(''A'')''t'' + det(''A'').

Tots els polinomis reals de grau senar ténentenen almenys un nombre real com a arrel, així que per a tot ''n'' senar, todatodta matriu real té al menysalmenys un valor propi real. La majoria dels polinomis reals de grau parell no ténentenen arrels reals, però el [[teorema fonamental de l'àlgebra]] diu que tot polinomi de grau n té n arrels compplexescomplexes, comptades amb les seves multiplicitats. Les arrels no reals de polinomis reals, per tant valors propis no reals, apareixen en parellsparelles conjugatsconjugades.

DosDues matrius [[semblança (matemàtiques)|semblants]] ténentenen el mateix polinomi característic. El recíproc no és cert en general: dosdues matrius amb el mateix polinomiopolinomi característic no ténen perquesón sernecessàriament semblants.

La matriu ''A'' i la seva [[matriu transposada|transposada]] ténentenen el mateix polinomi característic.

''A'' és semblant a una [[matriu triangular]] si i només si elsel seu polinomi característic pot ser completament factorizat en factors lineals sobre ''K''.