Aplicació lineal: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 30:
===Teorema d'isomorfisme===
: <math>Im f \cong \mathbf E/Nuc f</math>
==Matriu associada a una aplicació lineal==
Siguin <math> \mathbf E</math> i <math> \mathbf F</math> dos espais vectorials de dimensió finita, <math>\{u_1, \dots, u_n\}</math> i <math>\{v_1, \dots, v_m\}</math> les seves respectives bases i <math>f:\mathbf E\rightarrow
\mathbf F</math> una aplicació lineal, <math>\text {f}\;</math> queda definida si es coneixen les coordenades de <math>f(u_1), \dots, f(u_n)</math> en la base de <math>\mathbf F</math>:
<math>f(u_i)=\sum_{j=1}^m \lambda_i^jv_j, i=1, \dots, n</math>
<math> \ A </math> S'anomena matriu associada a l'aplicació lineal <math> \ f </math> en les bases <math>\{u_1, \dots, u_n\}</math> i <math>\{v_1, \dots, v_m\}</math>
<math>A=\begin{pmatrix}
\lambda_1^1 & \cdots & \lambda_n^1 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda_1^m & \cdots & \lambda_n^m \end{pmatrix}</math>
Aquesta matriu ens permet calcular les coordenades de l' imatge d'un vector:
:<math>w \in \mathbf E =\sum_{i=1}^n w_i u_i</math>
:<math>f(w) \in F = f(\sum_{i=1}^n w_i u_i)=\sum_{i=1}^n w_i (\sum_{j=1}^m \lambda_i^j v_j)=\sum_{j=1}^m (\sum_{i=1}^n \lambda_i^j w_i) v_j
</math>
Les coordenades de <math>\text {f(w)}\;</math> en la base <math>\{v_1, \dots, v_m\}</math> de <math>\mathbf F</math> són:
:<math>\bar{w_j}=\sum_{i=1}^n \lambda_i^j w_i, i=1, \dots, m</math>
:<math>\Rightarrow \bar{w}=A \cdot w</math>
===Composició d'aplicacions lineals===
Donades dues aplicacions lineals <math>f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F</math> i <math>g: \mathbf F \rightarrow \mathbf G</math> (on <math>\{u_1, \dots, u_n\}</math>, <math>\{v_1, \dots, v_m\}</math> i <math>\{w_1, \dots, w_s\}</math> són les bases de <math>\mathbf E</math>, <math>\mathbf F</math> i <math>\mathbf G</math>) amb <math>\text{A}\;</math> i <math>\text{B}\;</math> com a matrius associades en aquestes bases. Aleshores la matriu <math>C = B \cdot A</math> és la matriu associada a l'aplicació <math>f \circ g</math>
====Demostració====
:<math>\left. \begin{matrix} f(u_i)=\sum_{j=1}^m a_i^j v_j \\ g(v_j)=\sum_{k=1}^s b_j^k w_k \end{matrix} \right\} \Rightarrow g \circ f(u_i)=g(f(u_i))=g(\sum_{j=1}^m a_i^j v_j)=\sum_{j=1}^m a_i^j g(v_j)=\sum_{j=1}^m a_i^j(\sum_{k=1}^s b_j^k w_k)=\sum_{k=1}^s(\sum_{j=1}^m a_i^j b_j^k)w_k \Rightarrow</math>
:<math>C_i^k=\sum_{j=1}^m a_i^j b_j^k</math>
:<math>(C = B \cdot A)</math>
===Canvi de base===
Sigui <math>f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F</math> una aplicació lineal amb la matriu <math>\text {A}\;</math> respecte a les bases <math>\{u_1, \dots, u_n\}</math> i <math>\{v_1, \dots, v_m\}</math> de <math>\mathbf E</math> i <math>\mathbf F</math> i la matriu <math>\text {B}\;</math> respecte a les bases <math>\{u_1', \dots, u_n'\}</math> i <math>\{v_1', \dots, v_m'\}</math> es pot escriure <math>\text {f}\;</math> com la següent composició
:<math>B=Q \cdot A \cdot P</math>
on <math>\text {P}\;</math> és la matriu del canvi de base de <math>\{u_i'\}\;</math> a <math>\{u_i\}\;</math> i <math>\text {Q}\;</math> és la matriu del canvi de base de <math>\{v_j\}\;</math> a <math>\{v_j'\}\;</math>.
==L'espai dual==
| |||