Moviment harmònic simple: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Línia 120:
{{Caixa desplegable|títol=Obtenció de les equacions d'un MHS de trajectòria circular|contingut= <div align="left">
Per demostrar el cas d'un
:<math>M_{O}=I_{O}\alpha \ </math>
Expressarem l'acceleració angular que pateix el cos com la segona derivada de la posició angular:
:<math>\alpha =\frac{d^{2}\phi }{dt^{2}}</math>
:<math>M_{O}=
En primera aproximació (Polinomi de Taylor de grau 1):
Línia 138:
Per tant l'expressió anterior queda:
:<math>M_{O}=
El moment angular d'una partícula puntual de massa <math>m</math> rotant a una distància <math>L</math> d'un centre <math>O</math> és:▼
:<math>I_{O}=mL^{2} \ </math>▼
Substituint de la primera expressió:
:<math>
Simplificant i operant:
:<math>-\frac{
Definim <math>\ \Omega =\sqrt{\frac{mgD}{I_{0}}}\Leftrightarrow \Omega ^{2}=\frac{mgD}{I_{0}}</math> i així queda:
:<math>-\Omega ^{2}\phi =\frac{d^{2}\phi }{dt^{2}}</math>
Resolent l'equació diferencial:
:<math>\phi(t)=\Phi \sin(\theta_0+\Omega t) \
Derivant respecte del temps obtenim la velocitat angular:
Línia 163:
:<math>\alpha(t)=-\Phi \Omega^2 \sin(\theta_0+\Omega t) \ </math>
'''Pèndol simple'''
El pèndol simple és un cas particular del pèndol que consisteix en una masssa, que es pot considerar puntual, penjada d'una barra o cable de massa menyspreable.
▲El moment angular d'una partícula puntual de massa <math>m</math> rotant a una distància <math>L</math> d'un centre <math>O</math> és:
▲:<math>I_{O}=mL^{2} \ </math>
A partir d'aquí substituim i trobem la <math>\omega</math> per aquest cas concret:
:<math>\omega =\sqrt{\frac{mgL}{I_{O}}}=\sqrt{\frac{mgL}{mL^{2}}}=\sqrt{\frac{g}{L}}</math>
Aplicant la fórmula anterior podem trobar d'aquí el període d'un pèndol:
:<math>T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}</math>
</div>
}}
| |||