Difeomorfisme local: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
pàgina nova sobre difeomorfismes locals |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
En [[matemàtiques]], i més específicament en [[geometria diferencial]], un '''difeomorfisme local''' és un tipus especial d'[[aplicació (matemàtiques)|aplicació]] entre dues [[varietat diferenciable|varietats diferenciables]], tal que localment preserva l'
Línia 22:
== Propietats ==
Tot difeomorfisme local és un [[homeomorfisme local]], i per tant també és una [[aplicació oberta]], és a dir, aplica conjunts oberts en conjunts oberts.
Un difeomorfisme local [[aplicació bijectiva|bijectiu]] és un [[difeomorfisme]].
Més generalment, si <math>f \colon M \to N</math> és un difeomorfisme local ''[[aplicació injectiva|injectiu]]'', llavors la seva imatge ''f(M)'' és un subconjunt obert de ''N'', i l'aplicació induïda <math>f \colon M \to f(M)</math> és un difeomorfisme.
El [[teorema de la funció inversa]] afirma que una aplicació diferenciable ''f'': ''M'' → ''N'' és un difeomorfisme local en un punt ''x'' sii l'[[aplicació tangent]] de ''f'' en ''x'', T
(Si ''f'' és només de classe <math>\mathrm{C}^k</math>, amb <math>k \geq 1</math>, aleshores ''f'' és un difeomorfisme local de classe <math>\mathrm{C}^k</math>.)
El teorema de la funció inversa és aplicable a varietats diferenciables de dimensió finita, i també en alguns casos a varietats de dimensió infinita, com ara les varietats de Banach, on l'espai model local és un [[espai de Banach]].
En el cas d'una aplicació entre conjunts oberts d'un [[espai euclidià]] <math>\mathbf{R}^n</math>, l'aplicació tangent ve representada per la [[matriu jacobiana]], i comprovar que és un isomorfisme només requereix comprovar que el seu determinant ([[jacobià]]) sigui no nul.
=== Exemple ===
L'aplicació <math>f \colon \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}^2</math> definida per <math>f(x,y)=(e^x \cos y,e^x \sin y)</math> és de classe <math>\mathrm{C}^\infty</math> i és un difeomorfisme local. Això es comprova fàcilment, ja que la seva matriu jacobiana té determinant (jacobià) <math>e^{2x}</math>, enlloc nul, la qual cosa significa que l'aplicació tangent és invertible en tot punt. Tanmateix ''f'' no és un difeomorfisme global, ja que no és injectiva (perquè ''f(x,y)=f(x,y+2kπ)'' per a ''k'' enter) ni suprajectiva (el punt (0,0) no és un valor de la funció).
Linha 47 ⟶ 51:
[[Categoria:Geometria diferencial]]
[[Categoria:Càlcul]]
[[en:local diffeomorphism]]
| |||