Diferència entre revisions de la pàgina «Ideal principal»

1.284 bytes afegits ,  fa 12 anys
cap resum d'edició
Un [['''ideal]] <math>I</math> dprincipal'''un és in [[anellideal (matemàtiques)|anellideal]] <math>A</math>generat ésper '''principal'''un siúnic totselement. elsEssent seusformals, elementssigui són múltiples d''A'' un cert[[anell element(matemàtiques)|anell]] <math>g \ini ''I</math> que n'és' elun ideal d'''generadorA'''; això és:
 
* Es diu que ''I'' és un '''ideal principal per l'esquerra''' si existeix un element {{nowrap|''g'' ∈ ''I''}} anomenat generador, tal que tot {{nowrap|''x'' ∈ ''I''}} es pot escriure com {{nowrap|1=''x'' = ''yg''}} per algun ''y'' de l'anell ''A''. Així, tindrem que {{nowrap|1=''I'' = {''yg'' {{!}} ''y'' ∈ ''A''} }} i, de fet, s'acostuma a escriure que {{nowrap|1=''I'' = ''Ag''.}}
<math>\exists g \in I, \forall a \in I, \exists n \in A, a = ng</math>
* Es diu que ''I'' és un '''ideal principal per la dreta''' si existeix un element {{nowrap|''g'' ∈ ''I''}} anomenat generador, tal que tot {{nowrap|''x'' ∈ ''I''}} es pot escriure com {{nowrap|1=''x'' = ''gy''}} per algun ''y'' de l'anell ''A''. Així, tindrem que {{nowrap|1=''I'' = {''gy'' {{!}} ''y'' ∈ ''A''} }} i, de fet, s'acostuma a escriure que {{nowrap|1=''I'' = ''gA''.}}
*Un '''ideal principal''' (pels dos costats) és aquell que és principal per la dreta i per l'esquerra. Això es dóna sempre quan l'anell ''A'' és [[commutatiu]]. En aquest cas s'acostuma a escriure ''I'' = (''g''), tot i que la notació <''g''> també es pot trobar.
 
En un [[anell d'ideals principals]], tot ideal es pot escriure com a generat per un únic element. El fet que l'anell dels [[nombres enters]] compleixi aquesta propietat garanteix, per exemple, la propietat del [[màxim comú divisor]] de diversos enters.
La notació més comuna per a descriure que l''''ideal principal''' <math>I</math> té a <math>g \in I</math> com a generador és aquesta:
 
<math>I = (g)</math>
 
[[Categoria:Teoria d'anells]]
 
[[de:Hauptideal]]
[[en:Principal ideal]]
[[es:Ideal principal]]
[[fr:Idéal principal]]
[[nl:Hoofdideaal]]
[[pl:Ideał główny]]
[[pt:Ideal principal]]
[[ru:Главный идеал]]
[[sv:Principalideal]]
[[uk:Головний ідеал]]