Funció exhaustiva: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot insereix {{ORDENA:Funcio Suprajectiva}} |
m Robot elimina entitats HTML |
||
Línia 15:
*La funció [[logaritme natural]] ln: <nowiki>(0,+∞)</nowiki> → ℝ és suprajectiva.
*La funció ''f'': ℤ → {0,1,2,3} definida per ''f''(''x'') = ''x'' '''[[Aritmètica modular|mòdul]]''' 4 és suprajectiva.
*La funció ''g'': ℝ → ℝ definida per ''g''(''x'') = ''x''² ''no'' és suprajectiva, perquè (per exemple) no hi ha cap nombre real ''x'' tal que ''x''² =
==Obtenció de funcions exhaustives==
Línia 39:
* Si ''f'' {{mida|1=o}} ''g'' és suprajectiva, llavors ''f'' és suprajectiva (però ''g'' pot no ser-ho).
* ''f'': ''X'' → ''Y'' és suprajectiva si i només si, donades dues funcions qualsevol ''g'',''h'':''Y'' → ''Z'', sempre que ''g'' {{mida|1=o}} ''f'' = ''h'' {{mida|1=o}} ''f'', llavors ''g'' = ''h''. En altres paraules, Les funcions suprajectives són precisament els [[epimorfisme]]s de la [[teoria de categories|categoria]] [[Categoria de conjunts|'''Conjunt''']] de conjunts.
* Si ''f'': ''X'' → ''Y'' és suprajectiva i ''B'' és un [[subconjunt]] de ''Y'', llavors ''f''(''f''<sup>
* Per a qualsevol funció ''h'': ''X'' → ''Z'' hi ha una funció suprajectiva ''f'':''X'' → ''Y'' i una [[Funció injectiva|funció injectiva]] ''g'':''Y'' → ''Z'' tals que ''h'' = ''g'' {{mida|1=o}} ''f''. Per veure-ho, es defineix ''Y'' els conjunts ''h''<sup>
*A base de col·lapsar tots els arguments que donen la mateixa imatge, tota funció suprajectiva indueix una bijecció definida sobre el quocient del seu domini. De forma més precisa, cada funció suprajectiva ''f'' : ''A'' → ''B'' pot ser descomposta en la composició de una projecció amb una bijecció tal com segueix. Sia ''A''/~ les classes de equivalència de ''A'' baix la següent relació d'equivalència: ''x'' ~ ''y'' si i només si ''f''(''x'') = ''f''(''y''). De forma equivalent, ''A''/~ és el conjunt de totes les antiimatges a través de ''f''. Sia ''P''(~) : ''A'' → ''A''/~ la aplicació projecció la qual envia cada ''x'' de ''A'' a la seva classe d'equivalència [''x'']<sub>~</sub>, i sia ''f''<sub>''P''</sub> : ''A''/~ → ''B'' la funció donada per ''f''<sub>''P''</sub>([''x'']<sub>~</sub>) = ''f''(''x''). Llavors ''f'' = ''f''<sub>''P''</sub> o ''P''(~).
* Si ''f'': ''X'' → ''Y'' és una funció suprajectiva, llavors ''X'' té com a mínim tants elements com ''Y'', en el sentit del [[nombre cardinal]].
| |||