|
:<math>{R^{i}}_j = g^{ik}R_{kj}</math>
Per qualsevullaqualsevols vectors ''u'' i ''v'' el vector ''Ric''(''u'') satisfà
:<math>Ric(u,v) = g(Ric(u), v)</math>
Si aquest operador és multiplicat simplement per una constant, llavors tenim [[varietat d'Einstein]]. La curvatura de Ricci és proporcional al tensor mètric en aquest cas.
La curvatura de Ricci es pot explicar en termes de la [[curvatura seccional]] de la manera següent: per a un vector unitari ''v'', ''(v), v >'' és summasuma de les curvatures seccionals de tots els plans travessats pel vector ''v'' i un vector d'un marc ortonormal que conté a ''v'' (hi ha ''n''-1 d'aquests plans). Aquí ''R(v)'' és la curvatura de Ricci com un [[operador lineal]] en el pla tangent, i '',.>'' és el producte escalar mètric. La curvatura de Ricci conté la mateixa informació que totes les aquestes sumes sobre tots els vectors unitaris. En dimensions 2 i 3 aquest és igual que especificar totes les curvatures seccionals o el [[tensor de curvatura]], però en dimensions més altes la curvatura de Ricci conté menys informació. Per exemple, les varietats d'Einstein no han de tenir curvatura constant en les dimensions 4 i més.
Si es canvia la mètrica ''g'' pel factor conformal <math>e^{2f}</math> la curvatura de Ricci canvia a
==Topologia global i la geometria de curvatura de Ricci positiva==
El [[teorema de Myers]] establixestableix que si la curvatura de Ricci és limitada per baix en una varietat completa de Riemann per <math>\left(n-1\right)k > 0 \,\!</math>, llavors el seu diàmetre és <math>\le \pi/\sqrt{k}</math>, i la varietat ha de tenir un [[grup fonamental]] finit. Si el diàmetre és igual a <math>\pi/\sqrt{k}</math>, llavors la varietat és [[isomètric|isomètrica]] a una esfera de curvatura constant ''k''.
La [[desigualtat de Bishop-Gromov]] establixestableix que si la curvatura de Ricci d'una varietat ''m''-dimensional completa de Riemann és ≥0 llavors el volum d'una bola és més petit o igual al volum d'una bola del mateix ràdioràdi en el ''m''-espai euclidià. Más encara, si <math>vp(R)</math> denota el volum de la bola amb centre ''p'' i radi <math>R</math> en la varietat i el <math>V(R)=cm R^m</math> denota el volum de la bola de radi ''R'' en el ''m''-espai euclidià llavors la funció <math>vp(R)/V(R)</math> és no creixent. (l'última desigualtat es pot generalitzar a una cota de curvatura arbitrària i és el punt dominant en la prova deld' [[El teorema de compacitat de Gromov]].)
El [[teorema de partició de Cheeger-Gromoll]] indica que si una varietat completa de Riemann amb el Ricc ≥0 té una línia recta (és a dir una geodèsica minimitzant infinita a ambdós costats, això és una geodèsica γ tal que <math>d(\gamma(u),\gamma(v))=|u-v|</math> per tots els <math>v,u\in\mathbb{R}</math>)) llavors és isomètrica a un espai '''R''' x ''L'', on ''L'' és una varietat de Riemann.
| 