Revisió del 17:31, 18 oct 2009 modifica SMP (discussió \| contribucions) Administradors de la interfície, Administradors 39.785 edits →‎Exemples ← Edició anterior		Revisió del 17:53, 18 oct 2009 modifica desfés SMP (discussió \| contribucions) Administradors de la interfície, Administradors 39.785 edits Cap resum de modificació Edició següent →
Línia 1: Un '''ideal''' d'un [[anell (~~Matemàtiques~~matemàtiques)\|anell]] ''A'' és un [[subconjunt]] ''I'' d'elements de ''A'' que és tancat respecte a [[operació lineal\|operacions lineals]] i que compleix una sèrie de condicions que detallarem a continuació. Per permetre l'aplicació a anells no commutatius, es defineixen ''ideals per l'esquerra'' i ''ideals per la dreta''. Els ideals per les dues bandes (per exemple els d'anells ~~commutatius, doncs~~[[commutatiu]]s) s'anomenen ~~simplement~~ideals bilàters o senzillament ideals. El concepte d'ideal fou proposat per primera vegada per [[Richard Dedekind]] el [[1876]] a la tercera edició del seu llibre ''Vorlesungen über Zahlentheorie'' ("Lliçons sobre teoria dels nombres"). Era una generalització del concepte de [[nombre ideal]] desenvolupat per [[Ernst Kummer]]. Més endavant la idea fou ampliada per [[David Hilbert]] i especialment [[Emmy Noether]]. La principal utilitat dels ideals que en motiva el seu ús és que permeten definir una relació d'equivalència que dóna lloc al concepte d'[[anell quocient]].▼ ~~Definim doncs, '''ideal per l'esquerra''':~~ * l'[[element neutre]] de ''A'' pertany a ''I'',▼ * per a tot ''a'', ''b'' de ''I'', es compleix que ''a'' + ''b'' pertany a ''I'',▼ * per a tot ''a'' de ''I'' i ''r'' de ''A'', es compleix que ''r''·''a'' pertany a ''I''.▼ ==Definició== I també '''ideal per la dreta''':▼ Sia ''I'' un subconjunt d'un anell ''A'', es diu que és un '''ideal per l'esquerra''' quan: * l'element neutre de ''A'' pertany a ''I'', * ~~per a tot ''a'~~l',[[element ~~''b''~~neutre]] de ~~''I'',~~la essuma ~~compleix que~~de l'~~'a'' +~~anell ''bA'' pertany a ''I'', * per a tot ''ax'' de, ''Iy'' i d''r'~~' de ''A~~I'', es compleix que ''ax''· + ''ry'' pertany a ''I''., * per a tot ''x'' d'''I'' i tot ''a'' de l'anell ''A'', es compleix que ''a''·''x'' pertany a ''I''. ▲IEs ~~també~~diu que és un '''ideal per la dreta''' quan: Fixem-nos que l'única diferència està en la darrera condició, on intervé l'operació producte (·) i que en ambdós casos les dues primeres condicions imposen la condició que ''I'' sigui un subconjunt de ''A'' amb l'operació [[suma]] (+).▼ ▲* l'[[element neutre]] de la suma de l'anell ''A'' pertany a ''I'', ▲* per a tot ''ax'', ''by'' de d'''I'', es compleix que ''ax'' + ''by'' pertany a ''I'', ▲* per a tot ''ax'' de d'''I'' i tot ''ra'' de l'anell ''A'', es compleix que ''rx''·''a'' pertany a ''I''. ▲Fixem-nos que l'única diferència està en la darrera condició, on intervé l'operació producte (·) i que en ambdós casos les dues primeres condicions imposen la condició que ''I'' sigui un ~~subconjunt de~~[[subgrup]] d'''A'' amb l'operació [[suma]] (+). ▲El concepte d'ideal fou proposat per primera vegada per [[Richard Dedekind]] el [[1876]] a la tercera edició del seu llibre ''Vorlesungen über Zahlentheorie'' ("Lliçons sobre teoria dels nombres"). Era una generalització del concepte de [[nombre ideal]] desenvolupat per [[Ernst Kummer]]. Més endavant la idea fou ampliada per [[David Hilbert]] i especialment [[Emmy Noether]]. == Exemples == Linha 19 ⟶ 20: * El conjunt de tots els [[polinomi]]s de coeficients reals divisibles pel polinomi ''x''<sup>2</sup> + 1 és un ideal de l'anell dels polinomis. * El conjunt de les [[Matriu (matemàtiques)\|matrius]] ''n''×''n'' en les quals l'última columna és zero, forma un ideal per l'esquerra de l'anell de les matrius ''n''×''n'', mentre que si l'última fila és zero, tenim un ideal per la dreta. ==Vegeu també== [[Ideal principal]] [[Ideal primer]] *[[Ideal maximal]] {{esborrany de matemàtiques}}

Ideal (matemàtiques): diferència entre les revisions