Equipotència: diferència entre les revisions

* Essent un conjunt <math>\Omega</math>, el conjunt <math>\mathcal{P}(\Omega)</math> de les seves parts és equipotent al conjunt <math>\{0,\, 1\}^\Omega</math> de les funcions <math>\Omega \to \{0,\, 1\} </math>. <br /> Per provar-ho, s'associa a tota part ''A'' de <math>\Omega</math> la seva [[funció característica]] <math>\chi_A : \Omega \to \{0,\, 1\} </math> definida així: per a tot element ''x'' de <math>\Omega</math>, <math>\chi_A(x) = 1 </math> si <math>x \in A</math> i <math>\chi_A(x) = 0 </math> si <math>x \notin A</math>. <br /> L'aplicació <math>\mathcal{P}(\Omega) \to \{0,\, 1\}^\Omega,\, A \mapsto \chi_A</math> és bijectiva : si ''f'' és una funció <math>\Omega \to \{0,\, 1\} </math> i si es defineix <math>A = \{x \in \Omega \mid f(x) = 1\}</math>, és clar que ''A'' es l'única part de <math>\Omega</math> tal que <math>\chi_A = f</math>.

 

 

*Semblantment, un conjunt <math>\Omega</math> ''no és'' equipotent al conjunt <math>\mathcal{P}(\Omega)</math> de les seves parts.<br>Per provar-ho (per reducció a l'absurd), suposem l'existència d'una bijecció <math>f : \Omega \to \mathcal{P}(\Omega)</math> i definim el conjunt <math>A = \{x \in \Omega | x \notin f(x)\}</math>.<br> Com que <math>A \in \mathcal{P}(\Omega)</math> i ''f'' és bijectiva, existeix un element (únic) <math>\ x_0</math> del conjunt <math>\Omega</math> tal que <math>\ f(x_0) = A</math>.<br>Llavors: <math>x_0 \in A \iff x_0 \notin f(x_0) \iff x_0 \notin A</math>, una contradicció.