Diferència entre revisions de la pàgina «Baricentre»

2 octets eliminats ,  fa 10 anys
m
Robot: Canvis cosmètics
m (Robot: Canvis cosmètics)
 
Això, però, no és ni molt menys general ni acurat. L'explicació més científica i general és:
Siguin A<sub>1</sub>, ... A<sub>n</sub> ''n'' punts, i m<sub>1</sub>, ... m<sub>n</sub> ''n'' números (''m'' com ''massa'' ).
Llavors el baricentre dels ( A<sub>i</sub>, m<sub>i</sub> ) és el punt G definit de la següent manera:
 
 
El baricentre coincideix amb la noció física de [[centre de massa]], exemples:
* El baricentre d'{A, B} és el centre de massa del segment [A;B], o sigui d'una barra d'extrems A i B, de massa uniformement distribuïda.
* El baricentre d'{A, B, C} és el centre de gravetat del triangle ABC, suposant-li una densitat superficial uniforme (per exemple si tallem un triangle de cartró. Correspon al punt on es tallen les mitjanes. El triangle es mantindrà en equilibri (inestable) a la punta d'un llapis o d'un compàs, si aquest està situat just sota del centre de massa. El baricentre d'un [[triangle]] té, a més la propietat de pertànyer a la [[recta d'Euler]].
* El baricentre de quatre punts {A, B, C, D} de l'espai és el centre de gravetat del [[tetraedre]], suposant-li una densitat volúmica uniforme. Correspòn al punt on es tallen els segments que uneixen cada vèrtex amb l'isobaricentre de la cara oposada.
Es pot generalitzar l'anterior en qualsevol situació.
 
 
* '''Homogeneïtat''': no canvia el baricentre si es multiplica totes les masses per un mateix factor k ≠ 0.
formalment: bar { (A<sub>1</sub>, m<sub>1</sub>), ... , (A<sub>n</sub>, m<sub>n</sub>) } = bar { (A<sub>1</sub>, km<sub>1</sub>), ... , (A<sub>n</sub>, km<sub>n</sub>) }.
 
* '''Associativitat''': el baricentre es pot calcular reagrupant punts, és a dir, introduint baricentres parcials.
Per exemple, si D = bar {(A, a), (B, b)} (amb a + b ≠ 0) llavors bar {(A, a), (B, b), (C, c)} = bar {(D,'''a + b'''), (C, c)} (a + b + c ≠ 0)
 
Exemple de demostració: Considerem de nou el centre de massa d'un triangle ABC. anomenem I el centre del segment [B,C]. Llavors I = bar { (B, 1), (C, 1)}. Després G = bar {(A, 1), (B, 1), (C, 1)} = bar {(A, 1), (I, 2)}, el que significa que G està al segment [A,I], a un terç del camí a partir d'I.
 
El baricentre es pot definir en matemàtiques amb coeficients negatius. Com que no existeixen masses negatives, qui significat físic es pot atribuir a aquests càlculs?. Heus aquí un exemple molt senzill: en un full de cartró, retallem una mitja lluna com mostra la figura següent, constituït d'un cercle en el qual hem tret un altre cercle de radi dos cops menor. Ens pregutem quin és el centre de massa del creixent.
 
El càlcul resulta molt simplificat si considerem la mitja lluna com una juxtaposició de dos discs, un gran amb massa positiva, i l'altre, petit, amb massa negativa. Les masses són proporcionals a les àrees (densitat uniforme), el que dóna una massa de 4 pel primer disc, i de -1 pel segon. Llavors G = bar {(A, -1), (B, 4)}.
Es pot demostrar que aquest [[algoritme]] té ordre logarítmic.
 
== Vegeu també ==
* [[Centre de massa]]
* [[Centre de gravetat]]
* [[Taula de centroides]]
* [[Teorema de Napoleó]].
 
383.797

modificacions