Viquipèdia

Funció algebraica: diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
m traducció automàtica feta a petició de Usuari Discusió: Gomà pendent de revisió per l'usuari
Prova petició sense signar
Línia 1:
{{TraduccióPetició de traducció|en|Algebraic function|Usuari:Amical-bot/Matemàtiques/en}}
{{otheruses4|algebraic functions in [[calculus]], [[mathematical analysis]], and [[abstract algebra]]|functions in [[elementary algebra]]|function (mathematics)}}
 
{{otheruses4|algebraic functions in [[calculus]], [[mathematical analysis]], and [[abstract algebra]]|functions in [[elementary algebra]]|function (mathematics)}}
In [[mathematics]], an '''algebraic function''' is informally a [[Function (mathematics)|function]] which satisfies a [[polynomial]] equation whose coefficients are themselves polynomials. For example, an algebraic function in one variable ''x'' is a solution ''y'' for an equation
 
En [[matemàtiques]], un '''funció algebraica''' és informalment una [[Funció matemàtica|funció]] que satisfà una equació [[polinomi|polinòmica]] els coeficients del qual se són polinomis. Per exemple, una funció algebraica en una variable ''x'' és una solució ''y'' per a una equació
 
 
 
: <math>a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0</math>
 
 
 
where the coefficients ''a''<sub>''i''</sub>(''x'') are polynomial functions of ''x''. A function which is not algebraic is called a [[transcendental function]].
 
on els coeficients ''un'' <sub>''i'' </sub>(''x'') són funcions polinòmiques de ''x'' . Una funció que no és algebraica s'anomena una [[funció transcendental]].
 
 
 
In more precise terms, an algebraic function may not be a function at all, at least not in the conventional sense. Consider for example the equation of a [[circle]]:
 
En més termes precisos, una funció algebraica pot no ser una funció gens, com a mínim no en el sentit convencional. Consideri per exemple l'equació d'un [[circumferència|circumferència]]:
 
 
 
:<math>y^2+x^2=1.\,</math>
 
 
 
This determines ''y'', except only up to an overall sign:
 
Això determina ''y'', excepte només fins a un senyal global:
 
 
 
:<math>y=\pm \sqrt{1-x^2}.\,</math>
 
 
 
However, both [[branch cut|branches]] are thought of as belonging to the "function" determined by the polynomial equation. Thus an algebraic function is most naturally considered as a [[multiple valued function]].
 
Tanmateix, es pensa en les dues [[branques]] com pertànyer a la "funció" determinada per l'equació polinòmica. Així una funció algebraica està més naturalment considerada mentre un [[funció multivaluada|múltiple valorava funció]].
 
 
 
An '''algebraic function in ''n'' variables''' is similarly defined as a function ''y'' which solves a polynomial equation in ''n''&nbsp;+&nbsp;1 variables:
 
Un '''algebraic funcionar dins ''n'' variables''' és similarment definit com a funció ''y'' que resol una equació polinòmica dins ''n'' variables de  + 1:
 
 
 
:<math>p(y,x_1,x_2,\dots,x_n)=0.\,</math>
 
 
 
It is normally assumed that ''p'' should be an [[irreducible polynomial]]. The existence of an algebraic function is then guaranteed by the [[implicit function theorem]].
 
S'assumeix normalment que ''pàg.'' hauria de ser un [[factorització dels polinomis|polinomi irreductible]]. L'existència d'una funció algebraica és llavors garantida pel [[teorema de la funció implícita|teorema de funció implícit]].
 
 
 
Formally, an algebraic function in ''n'' variables over the [[field (mathematics)|field]] ''K'' is an element of the [[algebraic closure]] of the field of [[rational function]]s ''K''(''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>). In order to understand algebraic functions as functions, it becomes necessary to introduce ideas relating to [[Riemann surface]]s or more generally [[algebraic varieties]], and [[sheaf (mathematics)|sheaf theory]].
 
Formalment, una funció algebraica en ''n'' variables sobre el [[cos (matemàtiques)|camp]] ''K'' és un element de la [[clausura algebraica]] del camp de [[funcions racionals]] ''K'' ''( x'' <sub>1</sub>...,''x'' <sub>''n'' </sub>). Per entendre funcions algebraiques com funcions, es torna necessari d'introduir idees sobre [[Superfície de Riemann|Superfícies de riemann]] o [[varietat algebraica|varietats]] més generalment ALGEBRAIQUES, i [[teoria de feix]].
 
 
 
== Algebraic functions in one variable ==
 
== funcions Algebraiques en una variable ==
=== Introduction and overview ===
 
=== Introducció i visió de conjunt ===
The informal definition of an algebraic function provides a number of clues about the properties of algebraic functions. To gain an intuitive understanding, it may be helpful to regard algebraic functions as functions which can be formed by the usual algebraic operations: [[addition]], [[multiplication]], [[Division (mathematics)|division]], and taking an [[nth root|''n''th root]]. Of course, this is something of an oversimplification; because of [[casus irreducibilis]] (and more generally the [[fundamental theorem of Galois theory]]), algebraic functions need not be expressible by radicals.
 
La definició informal d'una funció algebraica proporciona un cert nombre de claus sobre les propietats de funcions algebraiques. Per guanyar una comprensió intuïtiva, pot ser útil considerar funcions algebraiques com funcions que poden ser formades per les operacions algebraiques habituals: [[suma|addició]], [[multiplicació]], [[Divisió|divisió]], i presa un ''N'' [[arrel de]] DJ. Naturalment, això és alguna cosa d'un oversimplification; a causa de [[casus irreducibilis]] (i més generalment el [[Theorem of galois theory fonamental)]], les funcions algebraiques no necessiten ser expressables per radicals.
 
 
 
First, note that any polynomial is an algebraic function, since polynomials are simply the solutions for ''y'' of the equation
 
Primer, fixi's que qualsevol polinomi és una funció algebraica, ja que els polinomis són simplement les solucions per ''y'' de l'equació
 
 
 
:<math> y-p(x) = 0.\,</math>
 
 
 
More generally, any rational function is algebraic, being the solution of
 
Més generalment, qualsevol funció racional és algebraica, sent la solució de
 
 
 
:<math>q(x)y-p(x)=0 \implies y=\frac{p(x)}{q(x)}.</math>
 
 
 
Moreover, the ''n''th root of any polynomial is an algebraic function, solving the equation
 
A més, el ''n'' arrel de th de qualsevol polinomi és una funció algebraica, resolent l'equació
 
 
 
:<math>y^n-p(x)=0 \implies y=\sqrt[n]{p(x)}.</math>
 
 
 
Surprisingly, the [[inverse function]] of an algebraic function is an algebraic function. For supposing that ''y'' is a solution of
 
Sorprenentment, la [[funció inversa]] d'una funció algebraica és una funció algebraica. Per suposar que ''y'' és una solució de
 
 
 
:<math>a_n(x)y^n+\cdots+a_0(x),</math>
 
 
 
for each value of ''x'', then ''x'' is also a solution of this equation for each value of ''y''. Indeed, interchanging the roles of ''x'' and ''y'' and gathering terms,
 
per a cada valor de ''x'', llavors ''x'' és també una solució d'aquesta equació per a cada valor de ''y'' . En efecte, intercanviant els papers de ''x'' i ''y'' i termes de reunió..
 
 
 
:<math>b_m(y)x^m+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots+b_0(y)=0.</math>
 
 
 
Writing ''x'' as a function of ''y'' gives the inverse function, also an algebraic function.
 
Escrivint ''x'' com a funció de ''y'' dóna la funció inversa, també una funció algebraica.
 
 
 
However, not every function has an inverse. For example, ''y'' = ''x''<sup>2</sup> fails the [[horizontal line test]]: it fails to be [[one-to-one]]. The inverse is the algebraic "function" <math>x=\pm\sqrt{y}</math>. In this sense, algebraic functions are often not true functions at all, but instead are [[multiple valued function]]s.
 
Tanmateix, no totes les funcions tenen un invers. Per exemple ''y'' = ''x'' suspensos de <sup>2</sup> la [[test de la línia horitzontal|prova de línia horitzontal]]: fracassa a ser [[funció injectiva|exacte]]. L'invers és la "funció" algebraica <math>x=\pm\sqrt{y}</math>. En aquest sentit, les funcions algebraiques són sovint funcions no veritables gens, però en canvi són [[funció multivaluada|funcions valorades múltiples]].
 
 
 
Another way to understand this, which will become important later in the article, is that an algebraic function is the graph of an [[algebraic curve]].
 
Una altra manera d'entendre això, que es tornarà important més tard a l'article, és que una funció algebraica és el gràfic d'una [[corba algebraica]].
 
 
 
=== The role of complex numbers ===
 
=== El paper de nombres complexos ===
From an algebraic perspective, complex numbers enter quite naturally into the study of algebraic functions. First of all, by the [[fundamental theorem of algebra]], the complex numbers are an [[algebraically closed field]]. Hence any polynomial relation
 
D'una perspectiva algebraica, els nombres complexos entren bastant naturalment a l'estudi de funcions algebraiques. Primer de tot, prop del [[teorema fonamental de l'àlgebra|teorema fonamental d'àlgebra]], els nombres complexos són un [[camp algebraicament tancat]]. Per això qualsevol relació polinòmica
 
 
 
: ''p''(''y'', ''x'') = 0
 
: ''pàg.'' (''y'''' x'') = 0
 
 
 
is guaranteed to have at least one solution (and in general a number of solutions not exceeding the degree of ''p'' in ''x'') for ''y'' at each point ''x'', provided we allow ''y'' to assume complex as well as real values. Thus, problems to do with the [[domain (mathematics)|domain]] of an algebraic function can safely be minimized.
 
és garantit tenir com a mínim una solució (i en general no excedint un cert nombre de solucions el grau de ''pàg.'' en ''x'' ) per ''y'' en cada punt ''x'', a condició que permetem ''y'' assumir complex així com valors reals. Així, es poden de manera segura minimitzar problemes per fer amb el [[domini (matemàtiques)|camp]] d'una funció algebraica.
 
 
 
[[Image:y^3-xy+1=0.png|thumb|A graph of three branches of the algebraic function ''y'', where ''y''<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''xy''&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0, over the domain 3/2<sup>2/3</sup> < ''x'' < 50.]]
 
[[Xy+1=0.png|de Image:y^3 polze|Un gràfic de tres branques de la funció algebraica ''y'', on ''y'' <sup>3</sup> − ''xy''  + 1 = 0, sobre el camp 3/2<sup>2/3</sup> < ''x'' < 50.]]
Furthermore, even if one is ultimately interested in real algebraic functions, there may be no adequate means to express the function in a simple manner without resorting to complex numbers (see [[casus irreducibilis]]). For example, consider the algebraic function determined by the equation
 
A més, fins i tot si un se n'interessa en el fons en funcions algebraiques genuïnes, no hi pot haver cap mitjà adequat d'expressar la funció dins una conducta simple sense recórrer a nombres complexos (vegi [[casus irreducibilis)]]. Per exemple, consideri la funció algebraica determinada per l'equació
 
 
 
:<math>y^3-xy+1=0.\,</math>
 
 
 
Using the [[cubic formula]], one solution is (the red curve in the accompanying image)
 
Utilitzant la [[equació de tercer grau|fórmula cúbica]], una solució és (la corba vermella en la imatge que acompanya)
 
 
 
:<math>
y=-\frac{(1+i\sqrt{3})x}{2^{2/3}\sqrt[3]{729-108x^3}}-\frac{(1-i\sqrt{3})\sqrt[3]{-27+\sqrt{729-108x^3}}}{6\sqrt[3]{2}}.
</math>
 
 
 
There is no way to express this function in terms of real numbers only, even though the resulting function is real-valued on the domain of the graph shown.
 
No hi ha cap manera d'expressar aquesta funció en termes de nombres reals només, tot i que la funció que resulta és genuïnament valorava sobre el camp del gràfic mostrat.
 
 
 
On a more significant theoretical level, using complex numbers allow one to use the powerful techniques of [[complex analysis]] to discuss algebraic functions. In particular, the [[argument principle]] can be used to show that any algebraic function is in fact an [[analytic function]], at least in the multiple-valued sense.
 
En un nivell teòric més significatiu, els nombres complexos que utilitzen permeten a un utilitzar les tècniques fortes d'[[anàlisi complexa]] per parlar de funcions algebraiques. En particular, el [[principi d'argument]] es pot utilitzar per mostrar que qualsevol funció algebraica és de fet una [[funció analítica]], com a mínim en el sentit de manera múltiple valorat.
 
 
 
Formally, let ''p''(''x'',&nbsp;''y'') be a complex polynomial in the complex variables ''x'' and ''y''. Suppose that
 
Formalment, deixi ''pàg.'' (''x'', '' y'') ser un polinomi complex en les variables complexes ''x'' i ''y'' . Suposi allò
''x''<sub>0</sub>&nbsp;∈&nbsp;'''C''' is such that the polynomial ''p''(''x''<sub>0</sub>,''y'') of ''y'' has ''n'' distinct zeros. We shall show that the algebraic function is analytic in a neighborhood of ''x''<sub>0</sub>. Choose a system of ''n'' non-overlapping discs Δ<sub>''i''</sub> containing each of these zeros. Then by the argument principle
 
''x'' <sub>0</sub> ∈ '''C''' és tal que el polinomi ''pàg.'' (''x''<sub>0</sub>'' y'') de ''y'' té ''n'' clar posa a zero. Mostrarem que la funció algebraica és analítica en un barri de ''x'' <sub>0</sub>. Esculli un sistema de ''n'' discs no-encavalcament Δ<sub>''i'' </sub> contenint cada un d'aquests posa a zero. Llavors pel principi d'argument
 
 
 
:<math>\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Delta_i} \frac{p_y(x_0,y)}{p(x_0,y)}\,dy = 1.</math>
 
 
 
By continuity, this also holds for all ''x'' in a neighborhood of ''x''<sub>0</sub>. In particular, ''p''(''x'',''y'') has only one root in Δ<sub>''i''</sub>, given by the [[residue theorem]]:
 
Per continuïtat, això també s'aguanta per a tot ''x'' en un barri de ''x'' <sub>0</sub>. En particular ''pàg.'' (''x'''' y'') té només un arrel en Δ<sub>''i'' </sub>, donat pel [[teorema de residu]]:
 
 
 
:<math>f_i(x) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Delta_i} y\frac{p_y(x,y)}{p(x,y)}\,dy</math>
 
 
 
which is an analytic function.
 
quina és una funció analítica.
 
 
 
=== Monodromy ===
 
=== Monodromy ===
Note that the foregoing proof of analyticity derived an expression for a system of ''n'' different '''function elements''' ''f''<sub>''i''</sub>(''x''), provided that ''x'' is not a '''critical point''' of ''p''(''x'',&nbsp;''y''). A ''critical point'' is a point where the number of distinct zeros is smaller than the degree of ''p'', and this occurs only where the highest degree term of ''p'' vanishes, and where the [[discriminant]] vanishes. Hence there are only finitely many such points ''c''<sub>1</sub>, ..., ''c''<sub>''m''</sub>.
 
Fixi's que la prova que renunciava d'analyticity obtenia una expressió per a un sistema de ''n'' diferent '''elements de funció''' ''f'' <sub>''i'' </sub>(''x''), a condició que ''x'' no és un '''punt crític''' de ''pàg.'' (''x'', '' y'') . Un ''punt crític'' és un punt on el nombre de clar posa a zero és més petit que el grau de ''pàg.'', i això ocorre només on el terme de grau més alt de ''pàg.'' desapareix, i on el [[discriminant]] desapareix. Per això hi ha de manera només finita molts tals punts ''circa'' <sub>1</sub>..., ''circa'' <sub>''m'' </sub>.
 
 
 
A close analysis of the properties of the function elements ''f''<sub>''i''</sub> near the critical points can be used to show that the [[monodromy theorem|monodromy cover]] is [[ramification|ramified]] over the critical points (and possibly the [[Riemann sphere|point at infinity]]). Thus the [[entire function]] associated to the ''f''<sub>''i''</sub> has at worst algebraic poles and ordinary algebraic branchings over the critical points.
 
Una anàlisi propera de les propietats dels elements de funció ''f'' <sub>''i'' </sub> prop dels punts crítics pot ser utilitzat mostrar que la [[coberta de]] [[monodromy]] [[es ramifica]] durant els punts crítics (i possiblement el PUNT DE L'INFINIT). Així la [[funció entera]] s'associava al ''f'' <sub>''i'' </sub> té a pitjors pals algebraics i bifurcacions algebraiques corrents durant els punts crítics.
 
 
 
Note that, away from the critical points, we have
 
Fixi's que, fora dels punts crítics, tenim
 
 
 
:<math>p(x,y) = a_n(x)(y-f_1(x))(y-f_2(x))\cdots(y-f_n(x))</math>
 
 
 
since the ''f''<sub>''i''</sub> are by definition the distinct zeros of ''p''. The [[monodromy group]] acts by permuting the factors, and thus forms the '''monodromy representation''' of the [[Galois group]] of ''p''. (The [[monodromy action]] on the [[universal covering space]] is related but different notion in the theory of Riemann surfaces.)
 
des del ''f'' <sub>''i'' </sub> són per definició el clar posa a zero de ''pàg.'' . Els actes de [[grup]] de [[Grup de Galois|Monodromy]] per permuting els factors, i així formes el '''representació de monodromy''' del GRUP DE GALOIS de ''pàg.'' . (L'[[acció de monodromy]] en l'[[espai de cobertura universal]] es relaciona excepte idea diferent en la teoria de Superfícies de Riemann.)
 
 
 
== History ==
 
== Història ==
 
 
 
The ideas surrounding algebraic functions go back at least as far as [[René Descartes]]. The first discussion of algebraic functions appears to have been in [[Edward Waring]]'s 1794 ''An Essay on the Principles of Human Knowledge'' in which he writes:
 
Les idees que envolten funcions algebraiques tornen com a mínim fins on [[René Descartes]]. La primera discussió de funcions algebraiques sembla haver estat en [[Edward Waring]] 1794 ''Un Assaig en els Principis de Coneixement Humà'' en el qual escriu:
:''let a quantity denoting the ordinate, be an algebraic function of the abscissa x, by the common methods of division and extraction of roots, reduce it into an infinite series ascending or descending according to the dimensions of x, and then find the integral of each of the resulting terms.''
 
: ''deixi una quantitat que denota l'ordenada, ser una funció algebraica del x d'abscissa, pels mètodes comuns de divisió i extracció d'arrels, reduir-lo a una sèrie infinita que ascendeix o que baixa segons les dimensions de x, i llavors trobar que la integral de cada un del resultar qualifiqui.''
 
 
 
==References==
 
== Referències ==
* {{cite book|authorlink=Lars Ahlfors|first = Lars|last = Ahlfors|title = Complex Analysis|publisher = McGraw Hill|year = 1979}}
 
* {{Ref-llibre|enllaçautor = Lars Ahlfors|nom = Lars|cognom = Ahlfors|títol = Complex Analysis|editorial = McGraw Hill|any = 1979}}
* {{cite book|author = van der Waerden, B.L.|title = Modern Algebra, Volume II|publisher = Springer|year=1931}}
 
* {{Ref-llibre|author = van der Waerden, B.L.|títol = Modern Algebra, Volume II|editorial = Springer|any = 1931}}
 
 
 
[[Category:Algebra]]
[[Category:Types of functions]]
 
[[ar:دالة جبرية]]
[[es:Función algebraica]]
[[eo:Algebra funkcio]]
[[fr:Fonction algébrique]]
[[hi:बीजीय फलन]]
[[it:Funzione algebrica]]
[[nn:Algebraisk funksjon]]
[[pl:Funkcja algebraiczna]]
[[pt:Função algébrica]]
[[ru:Алгебраическая функция]]
[[uk:Алгебраїчна функція]]
[[zh:代數函數]]
[[en:Algebraic function]]
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Funció_algebraica»