|
=== Introducció i visió de conjunt ===
The informal definition of an algebraic function provides a number of clues about the properties of algebraic functions. To gain an intuitive understanding, it may be helpful to regard algebraic functions as functions which can be formed by the usual algebraic operations: [[addition]], [[multiplication]], [[Division (mathematics)|division]], and taking an [[nth root|''n''th root]]. Of course, this is something of an oversimplification; because of [[casus irreducibilis]] (and more generally the [[fundamental theorem of Galois theory]]), algebraic functions need not be expressible by radicals.
La definició informal d'una funció algebraica proporciona un cert nombre de claus sobre les propietats de funcions algebraiques. Per guanyar una comprensió intuïtiva, pot ser útil considerar funcions algebraiques com funcions que poden ser formades per les operacions algebraiques habituals: [[suma|addició]], [[multiplicació]], [[Divisió|divisió]], i presa un ''N'' [[arrel de]] DJ. Naturalment, això és alguna cosa d'un oversimplification; a causa de [[casus irreducibilis]] (i més generalment el [[Theorem of galois theory fonamental)]], les funcions algebraiques no necessiten ser expressables per radicals. ▼
First, note that any polynomial is an algebraic function, since polynomials are simply the solutions for ''y'' of the equation
Primer, fixi's que qualsevol polinomi és una funció algebraica, ja que els polinomis són simplement les solucions per ''y'' de l'equació ▼
▲La definició informal d'una funció algebraica proporciona un cert nombre de claus sobre les seves propietats de funcions algebraiques. Per guanyaradquirir una comprensió intuïtiva, pot ser útil considerar les funcions algebraiques com funcions que es poden ser formadesformar peramb les operacions algebraiques habituals: [[suma|addició]], [[multiplicació]], [[ Divisió|divisió]], i presacàlcul un ''N''de [[ arrelArrel dearitmètica|arrels enèsimes]] DJ. Naturalment, això és alguna cosamena d'unde oversimplificationsimplificació; adegut causa deal [[casus irreducibilis]] (i més generalment eldel [[ TheoremTeorema offonamental galoisde theoryla fonamental)teoria de Galois]] ), les funcions algebraiques no necessitentotes ser expressabless'expressen per radicals.
▲Primer, fixi'sfixeu-vos que qualsevol polinomi és una funció algebraica, ja que els polinomis són simplement les solucions perde ''y'' dea l'equació
:<math> y-p(x) = 0.\,</math>
Més generalment, qualsevol funció racional és algebraica, senten ser la solució de ▼
More generally, any rational function is algebraic, being the solution of
▲Més generalment, qualsevol funció racional és algebraica, sent la solució de
:<math>q(x)y-p(x)=0 \implies y=\frac{p(x)}{q(x)}.</math>
A més, ella arrel ''n'' arrel de th de qualsevol polinomi és una funció algebraica, resolentque resol l'equació ▼
Moreover, the ''n''th root of any polynomial is an algebraic function, solving the equation
▲A més, el ''n'' arrel de th de qualsevol polinomi és una funció algebraica, resolent l'equació
:<math>y^n-p(x)=0 \implies y=\sqrt[n]{p(x)}.</math>
Sorprenentment, la [[funció inversa]] d'una funció algebraica és una funció algebraica. Per suposarSuposant que ''y'' és una solució de ▼
Surprisingly, the [[inverse function]] of an algebraic function is an algebraic function. For supposing that ''y'' is a solution of
▲Sorprenentment, la [[funció inversa]] d'una funció algebraica és una funció algebraica. Per suposar que ''y'' és una solució de
:<math>a_n(x)y^n+\cdots+a_0(x),</math>
per a cada valor de ''x'', llavors ''x'' és també una solució d'aquesta equació per a cada valor de ''y'' . En efecte, intercanviant els papers de ''x'' i ''y'' i agrupant termes de reunió..,▼
for each value of ''x'', then ''x'' is also a solution of this equation for each value of ''y''. Indeed, interchanging the roles of ''x'' and ''y'' and gathering terms,
▲per a cada valor de ''x'', llavors ''x'' és també una solució d'aquesta equació per a cada valor de ''y'' . En efecte, intercanviant els papers de ''x'' i ''y'' i termes de reunió..
:<math>b_m(y)x^m+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots+b_0(y)=0.</math>
Writing ''x'' as a function of ''y'' gives the inverse function, also an algebraic function.
Escrivint ''x'' com a funció de ''y'' dóna la funció inversa, també una funció algebraica.
Tanmateix, no totes les funcions tenen ununa inversinversa. Per exemple ''y'' = ''x'' suspensos de <sup>2</sup> no passa la [[test de la línia horitzontal|prova de línia horitzontal]]: fracassano aés seruna [[funció injectiva |exacte]]. L'inversLa inversa és la "funció" algebraica <math>x=\pm\sqrt{y}</math>. En aquest sentit, les funcions algebraiques són sovint funcions no veritablessón gensautèntiques funcions, però en canvi són [[funció multivaluada|funcions valorades múltiplesmultivaluades]]. ▼
Una altra manera d'entendre això, que es tornaràesdevindrà important més tard a l'article, és que una funció algebraica és ella gràficgràfica d'una [[corba algebraica]]. ▼
However, not every function has an inverse. For example, ''y'' = ''x''<sup>2</sup> fails the [[horizontal line test]]: it fails to be [[one-to-one]]. The inverse is the algebraic "function" <math>x=\pm\sqrt{y}</math>. In this sense, algebraic functions are often not true functions at all, but instead are [[multiple valued function]]s.
▲Tanmateix, no totes les funcions tenen un invers. Per exemple ''y'' = ''x'' suspensos de <sup>2</sup> la [[test de la línia horitzontal|prova de línia horitzontal]]: fracassa a ser [[funció injectiva|exacte]]. L'invers és la "funció" algebraica <math>x=\pm\sqrt{y}</math>. En aquest sentit, les funcions algebraiques són sovint funcions no veritables gens, però en canvi són [[funció multivaluada|funcions valorades múltiples]].
Another way to understand this, which will become important later in the article, is that an algebraic function is the graph of an [[algebraic curve]].
▲Una altra manera d'entendre això, que es tornarà important més tard a l'article, és que una funció algebraica és el gràfic d'una [[corba algebraica]].
=== El paper dels nombres complexos ===
| 