Diferència entre revisions de la pàgina «Derivada segona»

7.272 bytes afegits ,  fa 11 anys
m
traducció automàtica feta a petició de Usuari Discussió:Gomà pendent de revisió per l'usuari
m (traducció automàtica feta a petició de Usuari Discussió:Gomà pendent de revisió per l'usuari)
{{ Petició de traducció cTraducció|en|Second derivative|Usuari:Amical-bot/Matemàtiques/en| [[Usuari Discussió:Gomà]] }}
[[Image:4 fonctions du segonsecond degré.svg .3. bé .3. polze .3. |right|thumb|200px|The .3.second Elderivative segonof derivata d'una[[quadratic FUNCIÓfunction]] QUADRÀTICAis és[[constant CONSTANTfunction|constant]].]] ..
 
En CÀLCUL, el ((((( segon derivat ))))) d'una FUNCIÓ &fnof ; és el DERIVAT del derivat de &fnof ;. A grans trets, el segon derivat fa com s'és la taxa de variació d'una quantitat canviant ; per exemple, el segon derivat de la posició d'un vehicle respecte a temps és l'ACCELERACIÓ instantània del vehicle , o l'índex a què la VELOCITAT del vehicle està canviant. ..
[[Fitxer:4 fonctions du segon degré.svg|right|thumb|200px|El segon derivat d'una [[funció quadràtica]] és [[funció polinòmica de grau zero|constant]].]]
..
In [[calculus]], the '''second derivative''' of a [[function (mathematics)|function]] ƒ is the [[derivative]] of the derivative of ƒ. Roughly speaking, the second derivative measures how the rate of change of a quantity is itself changing; for example, the second derivative of the position of a vehicle with respect to time is the instantaneous [[acceleration]] of the vehicle, or the rate at which the [[velocity]] of the vehicle is changing.
Sobre el GRÀFIC D'UNA FUNCIÓ, el segon derivat correspon a la CURVATURA o concavitat del gràfic. El gràfic d'una funció amb segon positiu corbes derivades cap amunt , mentre el gràfic d'una funció amb segon negatiu corbes derivades cap avall. ..
 
..
En [[càlcul]], el '''segon derivat''' d'una [[funció matemàtica|funció]] ƒ és el [[derivada|derivat]] del derivat de ƒ. A grans trets, el segon derivat fa com s'és la taxa de variació d'una quantitat canviant; per exemple, el segon derivat de la posició d'un vehicle respecte a temps és l'[[acceleració]] instantània del vehicle, o l'índex a què la [[velocitat]] del vehicle està canviant.
(==) Notació (==) ..
 
{{ Detalls .3. Notació per a la diferenciació}} ..
 
El segon derivat d'una funció <math>f(x)\!</math> es denota normalment <math>f''(x)\!</math>. Allò és: ..
 
: <Math>f '' = (f')'\!</math> ..
On the [[graph of a function]], the second derivative corresponds to the [[curvature]] or concavity of the graph. The graph of a function with positive second derivative curves upwards, while the graph of a function with negative second derivative curves downwards.
En utilitzar la NOTACIÓ de LEIBNIZ per a derivats, el segon derivat d'una variable dependent (( y )) respecte a una variable independent (( x )) és escrit ..
 
: <Math>\frac{d^2y}{dx^2}.</math>..
Sobre el [[gràfica d'una funció|gràfic d'una funció]], el segon derivat correspon a la [[curvatura]] o concavitat del gràfic. El gràfic d'una funció amb segon positiu corbes derivades cap amunt, mentre el gràfic d'una funció amb segon negatiu corbes derivades cap avall.
Aquesta notació s'obté de la fórmula següent: ..
 
: <Math>\frac{d^2y}{dx^2} \ ,=\, \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>..
 
..
 
(==) Exemple (==) ..
== Notation ==
Donat la funció ..
 
: <Math>f(x) = x^3 ,\!</math> ..
== Notació ==
el derivat de &fnof ; és la funció ..
{{Details|Notation for differentiation}}
: <Math>f'(x) = 3x^2.\!</math>..
 
El segon derivat de &fnof ; és el derivat de &fnof ;&prime ; , és a dir ..
{{Details|Notation for differentiation}}
: <Math>f''(x) = 6x.\!</math>..
The second derivative of a function <math>f(x)\!</math> is usually denoted <math>f''(x)\!</math>. That is:
..
 
(==) Relació al gràfic (==) ..
El segon derivat d'una funció <math>f(x)\!</math> es denota normalment <math>f''(x)\!</math>. Allò és:
[[Il·lustració de Image:Animated de punt d'inflexió. gif .3. 400px .3. polze .3. Una trama de <math>f(x) = \sin(2x)</math> des de <math>-\pi/4</math> fins a <math>5\pi/4</math>. La recta tangent és blava cap amunt d'on la corba és còncava, verd on la corba és còncava avall , i el vermell a inflexió juga (<math>0</math> , <math>\pi/2</math> , i <math>\pi</math>).]] ..
:<math>f'' = (f')'\!</math>
..
When using [[Leibniz's notation]] for derivatives, the second derivative of a dependent variable ''y'' with respect to an independent variable ''x'' is written
(===) Concavitat (===) ..
 
El segon derivat d'una funció &fnof ; mesures el ((((( concavitat ))))) del gràfic de &fnof ;. Una funció el segon del qual el derivat és positiu serà CÒNCAVA AMUNT (a vegades enviat a com convex), significant que la recta tangent serà per sota el gràfic de la funció. Similarment, una funció el segon del qual el derivat és negatiu serà CÒNCAVA AVALL (a vegades anomenat simplement &ldquo ;concave&rdquo ;) , i les seves rectes tangents seran damunt el gràfic de la funció. ..
En fa servirr la [[Notació de Leibniz|Notació]] de LEIBNIZ per a derivats, el segon derivat d'una variable dependent ''y'' respecte a una variable independent ''x'' és escrit
..
:<math>\frac{d^2y}{dx^2}.</math>
(===) punts d'Inflexió (===) ..
This notation is derived from the following formula:
{{ canonada .3. Punt d'inflexió}} ..
 
Si el segon derivat d'una funció canvia senyal, el gràfic de la funció es canviarà de còncau avall a còncau amunt , o viceversa. Un punt on això ocorre s'anomena un ((((( punt d'inflexió ))))). Suposant que el segon derivat és continu, ha de prendre un valor de zero en qualsevol punt d'inflexió, encara que no tots els punts on el segon derivat són zero són necessàriament un punt d'inflexió. ..
Aquesta notació s'obté de la fórmula següent:
..
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} \,=\, \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>
(===) Segona prova derivada (===) ..
 
{{ canonada .3. Segona prova derivada}} ..
 
La relació entre el segon derivat i el gràfic es pot utilitzar per provar si un PUNT ESTACIONARI per a una funció (i.e. un punt on <math>f'(x)=0\!</math>) és un MÀXIM LOCAL o un MÍNIM LOCAL. Específicament ..
 
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) < 0</math> llavors <math>\ f</math> té un màxim local a <math>\ x</math>. ..
== Example ==
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) > 0</math> llavors <math>\ f</math> té un mínim local a <math>\ x</math>. ..
 
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) = 0</math>, el segon que la prova derivada no diu res al voltant del punt <math>\ x</math>, un punt d'inflexió possible. ..
== Exemple ==
La raó el segon derivat produeix aquests resultats poden ser vistos a tall d'una analogia de món real. Consideri un vehicle que al principi s'està movent endavant a una gran velocitat , però amb una acceleració negativa. Clarament la posició del vehicle en el punt on la velocitat arriba a zero serà la màxima distància des de la posició de sortida - després que aquesta vegada, la velocitat es torni negativa i el vehicle faci marxa enrere. El mateix és veritable per al mínim, amb un vehicle que al principi té una velocitat molt negativa excepte acceleració positiva. ..
Given the function
..
 
(==) Límit (==) ..
Donat la funció
És possible escriure un LÍMIT únic per al segon derivat: ..
: >0 de <math>f''(x) = \lim_{h} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}.3,\!</math> ..
the derivative of &fnof; is the function
L'expressió a la dreta pot ser escrit com a QUOCIENT DE DIFERÈNCIA de quocients de diferència: ..
 
: <Math>\frac{f(x+h) - h)}{h^2 de 2f(x) + f(x} = \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}.</math> ..
el derivat de ƒ és la funció
Aquest límit es pot veure com a versió contínua de la SEGONA DIFERÈNCIA per a SEQUENCES. ..
:<math>f'(x) = 3x^2.\!</math>
..
The second derivative of &fnof; is the derivative of &fnof;&prime;, namely
(==) aproximació Quadràtica (==) ..
 
Només mentre el primer derivat es relaciona amb APROXIMACIONS LINEALS, el segon derivat es relaciona amb la millor APROXIMACIÓ QUADRÀTICA per a una funció &fnof ;. Aquesta és la FUNCIÓ QUADRÀTICA els primers i segons derivats del qual són els mateixos que els de &fnof ; en un punt donat. La fórmula per la millor aproximació quadràtica a una funció &fnof ; al voltant del punt (( x )) &nbsp ;=&nbsp ;(( un )) és ..
El segon derivat de ƒ és el derivat de ƒ′, és a dir
: <Math>f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2.</math> ..
:<math>f''(x) = 6x.\!</math>
Aquesta aproximació quadràtica és el segon ordre TAYLOR POLYNOMIAL perquè la funció se centrava a (( x )) &nbsp ;=&nbsp ;(( un )) . ..
 
..
 
(==) Generalització a dimensions més altes (==) ..
 
..
== Relation to the graph ==
(===) El hessià (===) ..
 
{{ canonada .3. Matriu de hessians}} ..
== Relació al gràfic ==
El segon derivat generalitza a dimensions més altes a través de la noció de segones DERIVADES PARCIALS. Per a una funció &fnof ;:((((( R )))))<sup>3</sup>&nbsp ;&rarr ;&nbsp ;((((( R ))))) , aquests inclouen els tres partials de segon ordre ..
[[Image:Animated illustration of inflection point.gif|400px|thumb|A plot of <math>f(x) = \sin(2x)</math> from <math>-\pi/4</math> to <math>5\pi/4</math>. The tangent line is blue where curve is concave up, green where the curve is concave down, and red at inflection points (<math>0</math>, <math>\pi/2</math>, and <math>\pi</math>).]]
..
 
: <Math>\frac{\part^2 f}{\part x^2}, \ ; \frac{\part^2 f}{\part y^2} , \text{ i }\frac{\part^2 f}{\part z^2}</math> ..
[[Il·lustració de Image:Animated de punt d'inflexió. gif|400px|thumb|Una trama de <math>f(x) = \sin(2x)</math> des de <math>-\pi/4</math> fins a <math>5\pi/4</math>. La recta tangent és blava cap amunt d'on la corba és còncava, verd on la corba és còncava avall, i el vermell a inflexió juga (<math>0</math>, <math>\pi/2</math>, i <math>\pi</math>).]]
..
 
i els partials variats ..
 
..
 
: <Math>\frac{\part^2 f}{\part x \, \part y}, \ ; \frac{\part^2 f}{\part x \, \part z}, \text{ i }\frac{\part^2 f}{\part y \, \part z}.</math>..
=== Concavity ===
..
 
Aquests encaixen a una MATRIU SIMÈTRICA conegut com el ((((( hessià ))))). Els VALORS PROPIS d'aquesta matriu es poden utilitzar per implementar un ordinador analògic multivariable de la segona prova derivada. (Vegi també la SEGONA PROVA DE DERIVADA PARCIAL.) ..
=== Concavitat ===
..
The second derivative of a function &fnof; measures the '''concavity''' of the graph of &fnof;. A function whose second derivative is positive will be [[concave up]] (sometimes referred to as convex), meaning that the [[tangent]] line will lie below the graph of the function. Similarly, a function whose second derivative is negative will be [[concave down]] (sometimes called simply &ldquo;concave&rdquo;), and its tangent lines will lie above the graph of the function.
(===) El laplacià (===) ..
 
{{ canonada .3. Operador laplacià}} ..
El segon derivat d'una funció ƒ mesures el '''concavitat''' del gràfic de ƒ. Una funció el segon del qual el derivat és positiu serà [[còncava amunt]] (a vegades enviat a com convex), significant que la recta tangent serà per sota el gràfic de la funció. Similarment, una funció el segon del qual el derivat és negatiu serà [[tangent|còncava]] [[avall]] (a vegades anomenat simplement “concave”), i les seves rectes tangents seran damunt el gràfic de la funció.
Una altra generalització comuna del segon derivat és el ((((( laplacià ))))). Aquest és l'operador diferencial <math>\nabla^2</math> definit a prop ..
 
: <Math>\nabla^2 f = \frac{\part^2 f}{\part x^2}+\frac{\part^2 f}{\part y^2}+\frac{\part^2 f}{\part z^2}.</math>..
 
El laplacià d'una funció és igual a la DIVERGÈNCIA del PENDENT. ..
 
..
=== Inflection points ===
(==) Referències (==) ..
 
(===) Impressió (===) ..
=== punts d'Inflexió ===
* {{ Citació ..
{{main|Inflection point}}
.3. últim = Anton ..
 
.3. primer = Howard ..
{{Principal|Punt d'inflexió}}
.3. last2 = Bivens ..
If the second derivative of a function changes sign, the graph of the function will switch from concave down to concave up, or vice versa. A point where this occurs is called an '''inflection point'''. Assuming the second derivative is continuous, it must take a value of zero at any inflection point, although not every point where the second derivative is zero is necessarily a point of inflection.
.3. first2 = Irl ..
 
.3. last3 = Davis ..
Si el segon derivat d'una funció canvia senyal, el gràfic de la funció es canviarà de còncau avall a còncau amunt, o viceversa. Un punt on això ocorre s'anomena un '''punt d'inflexió'''. Suposant que el segon derivat és continu, ha de prendre un valor de zero en qualsevol punt d'inflexió, encara que no tots els punts on el segon derivat són zero són necessàriament un punt d'inflexió.
.3. first3 = Stephen ..
 
.3. data = 2 de febrer, 2005 ..
 
.3. Càlcul de = de títol: Primer Single Transcendentals i Multivariable ..
 
.3. lloc = Nova York ..
=== Second derivative test ===
.3. editor = Wiley ..
 
.3. edició = 8è ..
=== Segona prova derivada ===
.3. isbn = 978-0471472445 ..
{{main|Second derivative test}}
}} ..
 
* {{ Citació ..
{{Principal|Segona prova derivada}}
.3. últim = Apostol ..
The relation between the second derivative and the graph can be used to test whether a [[stationary point]] for a function (i.e. a point where <math>f'(x)=0\!</math>) is a [[local maximum]] or a [[local minimum]]. Specifically,
.3. primer = Tom M. ..
 
.3. data = juny de 1967 ..
La relació entre el segon derivat i el gràfic es pot fa servirr per provar si un [[punt estacionari]] per a una funció (i.e. un punt on <math>f'(x)=0\!</math>) és un [[màxims i mínims|màxim local]] o un [[màxims i mínims|mínim local]]. Específicament
.3. tituli = Càlcul, Volum 1: Càlcul d'una Variable amb una Introducció a Àlgebra Lineal ..
* If <math>\ f^{\prime\prime}(x) < 0</math> then <math>\ f</math> has a local maximum at <math>\ x</math>.
.3. editor = Wiley ..
 
.3. edició = 2n ..
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) < 0</math> llavors <math>\ f</math> té un màxim local a <math>\ x</math>.
.3. volum = 1 ..
* If <math>\ f^{\prime\prime}(x) > 0</math> then <math>\ f</math> has a local minimum at <math>\ x</math>.
.3. isbn = 978-0471000051 ..
 
}} ..
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) > 0</math> llavors <math>\ f</math> té un mínim local a <math>\ x</math>.
* {{ Citació ..
* If <math>\ f^{\prime\prime}(x) = 0</math>, the second derivative test says nothing about the point <math>\ x</math>, a possible inflection point.
.3. últim = Apostol ..
 
.3. primer = Tom M. ..
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) = 0</math>, el segon que la prova derivada no diu res al voltant del punt <math>\ x</math>, un punt d'inflexió possible.
.3. data = juny de 1969 ..
The reason the second derivative produces these results can be seen by way of a real-world analogy. Consider a vehicle that at first is moving forward at a great velocity, but with a negative acceleration. Clearly the position of the vehicle at the point where the velocity reaches zero will be the maximum distance from the starting position – after this time, the velocity will become negative and the vehicle will reverse. The same is true for the minimum, with a vehicle that at first has a very negative velocity but positive acceleration.
.3. tituli = Càlcul, Volums 2: Càlcul Multivariable i Àlgebra Lineal amb Aplicacions ..
 
.3. editor = Wiley ..
La raó el segon derivat produeix aquests resultats poden ser vistos a tall d'una analogia de món real. Consideri un vehicle que al principi s'està movent endavant a una gran velocitat, però amb una acceleració negativa. Clarament la posició del vehicle en el punt on la velocitat arriba a zero serà la màxima distància des de la posició de sortida - després que aquesta vegada, la velocitat es torni negativa i el vehicle faci marxa enrere. El mateix és veritable per al mínim, amb un vehicle que al principi té una velocitat molt negativa excepte acceleració positiva.
.3. edició = 2n ..
 
.3. volum = 1 ..
 
.3. isbn = 978-0471000075 ..
 
}} ..
== Limit ==
* {{ Citació ..
 
.3. darreres Vigílies de = ..
== Límit ==
.3. primer = Howard ..
It is possible to write a single [[Limit (mathematics)|limit]] for the second derivative:
.3. data = 2 de gener, 1990 ..
 
.3. tituli = Una Introducció a la Història de Matemàtiques ..
És possible escriure un [[Límit|límit]] únic per al segon derivat:
.3. edició = 6è ..
:<math>f''(x) = \lim_{h->0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}.</math>
.3. Rierols de = d'editor Cole ..
The expression on the right can be written as a [[difference quotient]] of difference quotients:
.3. isbn = 978-0030295584 ..
 
}} ..
L'expressió a la lleia pot ser escrit com a [[quocient de diferència]] de quocients de diferència:
* {{ Citació ..
:<math>\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}.</math>
.3. últim = Larson ..
This limit can be viewed as a continuous version of the [[second difference]] for [[sequence (mathematics)|sequences]].
.3. primer = Ron ..
 
.3. last2 = Hostetler ..
Aquest límit es pot veure com a versió contínua de la [[segona diferència]] per a [[successió matemàtica|sequences]].
.3. first2 = Robert P. ..
 
.3. last3 = Edwards ..
 
.3. first3 = Bruce H. ..
 
.3. data = 28 de febrer, 2006 ..
== Quadratic approximation ==
.3. Càlcul de = de títol: Primeres Funcions Transcendentals ..
 
.3. edició = 4t ..
== aproximació Quadràtica ==
.3. Companyia de = Houghton Mifflin d'editor ..
Just as the first derivative is related to [[linear approximation]]s, the second derivative is related to the best [[quadratic approximation]] for a function &fnof;. This is the [[quadratic function]] whose first and second derivatives are the same as those of &fnof; at a given point. The formula for the best quadratic approximation to a function &fnof; around the point ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' is
.3. isbn = 978-0618606245 ..
 
}} ..
Només mentre el primer derivat es relaciona amb [[aproximació lineal|aproximacions lineals]], el segon derivat es relaciona amb la millor [[aproximació quadràtica]] per a una funció ƒ. Aquesta és la [[funció quadràtica]] els primers i segons derivats del qual són els mateixos que els de ƒ en un punt donat. La fórmula per la millor aproximació quadràtica a una funció ƒ al voltant del punt ''x''  = ''a'' és
* {{ Citació ..
:<math>f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2.</math>
.3. últim = Spivak ..
This quadratic approximation is the second-order [[Taylor polynomial]] for the function centered at ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.
.3. primer = Michael ..
 
.3. enllaç d'autors = Michael Spivak ..
Aquesta aproximació quadràtica és el segon ordre [[Teorema de Taylor|Taylor polynomial]] perquè la funció se centrava a ''x''  = ''a'' .
.3. data = setembre de 1994 ..
 
.3. Càlcul de = de títol ..
 
.3. editor Que = Publiquen o Moren ..
 
.3. edició = 3r ..
== Generalization to higher dimensions ==
.3. isbn = 978-0914098898 ..
 
}} ..
== Generalització a dimensions més altes ==
* {{ Citació ..
 
.3. últim = Stewart ..
 
.3. primer = James ..
 
.3. data = 24 de desembre, 2002 ..
=== The Hessian ===
.3. Càlcul de = de títol ..
 
.3. Rierols de = d'editor Cole ..
=== El hessià ===
.3. edició = 5è ..
{{main|Hessian matrix}}
.3. isbn = 978-0534393397 ..
 
}} ..
{{Principal|Matriu Hessiana}}
* {{ Citació ..
The second derivative generalizes to higher dimensions through the notion of second [[partial derivative]]s. For a function &fnof;:'''R'''<sup>3</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''R''', these include the three second-order partials
.3. últim = Thompson ..
 
.3. primer = Silvanus P. ..
El segon derivat generalitza a dimensions més altes a través de la noció de segones [[derivada parcial|derivades parcials]]. Per a una funció ƒ:'''R'''<sup>3</sup> → '''R''', aquests inclouen els tres partials de segon ordre
.3. data = 8 de setembre, 1998 ..
 
.3. el Càlcul de = de títol Feia Fàcil ..
 
.3. l'edició = Revisat, Actualitzada, S'Estenia ..
 
.3. lloc = Nova York ..
:<math>\frac{\part^2 f}{\part x^2}, \; \frac{\part^2 f}{\part y^2}, \text{ and }\frac{\part^2 f}{\part z^2}</math>
.3. la Premsa de St. de = d'editor Martin ..
 
.3. isbn = 978-0312185480 ..
 
}} ..
 
..
and the mixed partials
(===) llibres en Línia (===) ..
 
..
i els partials variats
* {{ Citació ..
 
.3. últim = Crowell ..
 
.3. primer = Benjamin ..
 
.3. Càlcul de = de títol ..
:<math>\frac{\part^2 f}{\part x \, \part y}, \; \frac{\part^2 f}{\part x \, \part z}, \text{ and }\frac{\part^2 f}{\part y \, \part z}.</math>
.3. any = 2003 ..
 
.3. url = http://www.lightandmatter.com/calc/..
 
}} ..
 
* {{ Citació ..
These fit together into a [[symmetric matrix]] known as the '''Hessian'''. The [[eigenvalue]]s of this matrix can be used to implement a multivariable analogue of the second derivative test. (See also the [[second partial derivative test]].)
.3. últim = Garrett ..
 
.3. primer = Paul ..
Aquests encaixen a una [[matriu simètrica]] conegut com el '''hessià'''. Els [[valor propi, vector propi i espai propi|valors propis]] d'aquesta matriu es poden fa servirr per implementar un ordinador analògic multivariable de la segona prova derivada. (Vegi també la [[segona prova de derivada parcial]].)
.3. any = 2004 ..
 
.3. títol = Notes en Càlcul de Primer Any ..
 
.3. url = http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/..
 
}} ..
=== The Laplacian ===
* {{ Citació ..
 
.3. últim = Hussain ..
=== El laplacià ===
.3. primer = Faraz ..
{{main|Laplace operator}}
.3. any = 2006 ..
 
.3. títol = Que Entén Càlcul ..
{{Principal|Operador laplacià}}
.3. url = http://www.understandingcalculus.com/..
Another common generalization of the second derivative is the '''Laplacian'''. This is the differential operator <math>\nabla^2</math> defined by
}} ..
 
* {{ Citació ..
Una altra generalització comuna del segon derivat és el '''laplacià'''. Aquest és l'operador diferencial <math>\nabla^2</math> definit a prop
.3. últim = Keisler ..
:<math>\nabla^2 f = \frac{\part^2 f}{\part x^2}+\frac{\part^2 f}{\part y^2}+\frac{\part^2 f}{\part z^2}.</math>
.3. primer = henri Jerome ..
The Laplacian of a function is equal to the [[divergence]] of the [[gradient]].
.3. any = 2000 ..
 
.3. Càlcul Elemental de = de títol: Utilitzant Una Aproximació Infinitesimals ..
El laplacià d'una funció és igual a la [[divergència]] del [[gradient|pendent]].
.3. url = http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html..
 
}} ..
 
* {{ Citació ..
 
.3. últim = Mauch ..
== References ==
.3. primer = Sean ..
 
.3. any = 2004 ..
== Referències ==
.3. Versió Íntegra de = de títol del Llibre de Matemàtica Aplicat de Sean ..
=== Print ===
.3. url = http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html..
 
}} ..
=== Impressió ===
* {{ Citació ..
*{{Citation
.3. últim = Sloughter ..
 
.3. primer = Dan ..
* {{Ref-llibre
.3. any = 2000 ..
| last = Anton
.3. tituli Equacions de Diferència de = a Equacions Diferencials ..
 
.3. url = http://synechism.org/drupal/de2de/..
|last = Anton
}} ..
| first = Howard
* {{ Citació ..
 
.3. últim = Strang ..
|first = Howard
.3. primer = Gilbert ..
| last2 = Bivens
.3. any = 1991 ..
 
.3. Càlcul de = de títol ..
|last2 = Bivens
.3. url = http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm..
| first2 = Irl
}} ..
 
* {{ Citació ..
|first2 = Irl
.3. últim = Stroyan ..
| last3 = Davis
.3. primer = Keith D. ..
 
.3. any = 1997 ..
|last3 = Davis
.3. tituli = Una Introducció Breu a Càlcul Infinitesimal ..
| first3 = Stephen
.3. url = http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm..
 
}} ..
|first3 = Stephen
* {{ Citació ..
| date = February 2, 2005
.3. últim = Wikibooks ..
 
.3. Càlcul de = de títol ..
|date = February 2, 2005
.3. url = http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus..
| title = Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable
}} ..
 
..
|títol = Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable
[[Anàlisi de Category:Mathematical]] ..
| place = New York
[[Càlcul de Category:Differential]] ..
 
[[Category:Functions i mapatges]] ..
|place = New York
[[Operadors de Category:Linear en càlcul]] ..
| publisher = Wiley
paraulesenllacos ..
 
..
|editorial = Wiley
FUNCIÓ QUADRÀTICA ..
| edition = 8th
..
 
CONSTANT ..
|edició = 8è
..
| isbn = 978-0471472445
CÀLCUL ..
 
..
|isbn = 978-0471472445
FUNCIÓ ..
}}
..
 
DERIVAT ..
}}
..
*{{Citation
ACCELERACIÓ ..
 
..
* {{Ref-llibre
VELOCITAT ..
| last = Apostol
..
 
GRÀFIC D'UNA FUNCIÓ ..
|last = Apostol
..
| first = Tom M.
CURVATURA ..
 
..
|first = Tom M.
LA NOTACIÓ DE LEIBNIZ ..
| date = June 1967
..
 
CÒNCAU CAP AMUNT DE ..
|date = June 1967
..
| title = Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra
TANGENT ..
 
..
|títol = Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra
CÒNCAU AVALL ..
| publisher = Wiley
..
 
PUNT ESTACIONARI ..
|editorial = Wiley
..
| edition = 2nd
MÀXIM LOCAL ..
 
..
|edició = 2n
MÍNIM LOCAL ..
| volume = 1
..
 
LÍMIT ..
|volume = 1
..
| isbn = 978-0471000051
QUOCIENT DE DIFERÈNCIA ..
 
..
|isbn = 978-0471000051
SEGONA DIFERÈNCIA ..
}}
..
 
SEQÜÈNCIES ..
}}
..
*{{Citation
APROXIMACIONS LINEALS ..
 
..
* {{Ref-llibre
APROXIMACIÓ QUADRÀTICA ..
| last = Apostol
..
 
FUNCIÓ QUADRÀTICA ..
|last = Apostol
..
| first = Tom M.
POLINOMI DE TAYLOR ..
 
..
|first = Tom M.
DERIVADES PARCIALS ..
| date = June 1969
..
 
MATRIU SIMÈTRICA ..
|date = June 1969
..
| title = Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications
VALORS PROPIS ..
 
..
|títol = Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications
SEGONA PROVA DE DERIVADA PARCIAL ..
| publisher = Wiley
..
 
DIVERGÈNCIA ..
|editorial = Wiley
..
| edition = 2nd
PENDENT ..
 
|edició = 2n
| volume = 1
 
|volume = 1
| isbn = 978-0471000075
 
|isbn = 978-0471000075
}}
 
}}
*{{Citation
 
* {{Ref-llibre
| last = Eves
 
|last = Eves
| first = Howard
 
|first = Howard
| date = January 2, 1990
 
|date = January 2, 1990
| title = An Introduction to the History of Mathematics
 
|títol = An Introduction to the History of Mathematics
| edition = 6th
 
|edició = 6è
| publisher = Brooks Cole
 
|editorial = Brooks Cole
| isbn = 978-0030295584
 
|isbn = 978-0030295584
}}
 
}}
*{{Citation
 
* {{Ref-llibre
| last = Larson
 
|last = Larson
| first = Ron
 
|first = Ron
| last2 = Hostetler
 
|last2 = Hostetler
| first2 = Robert P.
 
|first2 = Robert P.
| last3 = Edwards
 
|last3 = Edwards
| first3 = Bruce H.
 
|first3 = Bruce H.
| date = February 28, 2006
 
|date = February 28, 2006
| title = Calculus: Early Transcendental Functions
 
|títol = Calculus: Early Transcendental Functions
| edition = 4th
 
|edició = 4t
| publisher = Houghton Mifflin Company
 
|editorial = Houghton Mifflin Company
| isbn = 978-0618606245
 
|isbn = 978-0618606245
}}
 
}}
*{{Citation
 
* {{Ref-llibre
| last = Spivak
 
|last = Spivak
| first = Michael
 
|first = Michael
| author-link = Michael Spivak
 
|author-link = Michael Spivak
| date = September 1994
 
|date = September 1994
| title = Calculus
 
|títol = Calculus
| publisher = Publish or Perish
 
|editorial = Publish or Perish
| edition = 3rd
 
|edició = 3r
| isbn = 978-0914098898
 
|isbn = 978-0914098898
}}
 
}}
*{{Citation
 
* {{Ref-llibre
| last = Stewart
 
|last = Stewart
| first = James
 
|first = James
| date = December 24, 2002
 
|date = December 24, 2002
| title = Calculus
 
|títol = Calculus
| publisher = Brooks Cole
 
|editorial = Brooks Cole
| edition = 5th
 
|edició = 5è
| isbn = 978-0534393397
 
|isbn = 978-0534393397
}}
 
}}
*{{Citation
 
* {{Ref-llibre
| last = Thompson
 
|last = Thompson
| first = Silvanus P.
 
|first = Silvanus P.
| date = September 8, 1998
 
|date = September 8, 1998
| title = Calculus Made Easy
 
|títol = Calculus Made Easy
| edition = Revised, Updated, Expanded
 
|edició = Revisat, Actualitzada, S'Estenia
| place = New York
 
|place = New York
| publisher = St. Martin's Press
 
|editorial = St. Martin's Press
| isbn = 978-0312185480
 
|isbn = 978-0312185480
}}
 
}}
 
 
 
=== Online books ===
 
=== llibres en Línia ===
 
 
 
*{{Citation
 
* {{Ref-llibre
| last = Crowell
 
|last = Crowell
| first = Benjamin
 
|first = Benjamin
| title = Calculus
 
|títol = Calculus
| year = 2003
 
|any = 2003
| url = http://www.lightandmatter.com/calc/
 
|url = http://www.lightandmatter.com/calc/
}}
 
}}
*{{Citation
 
* {{Ref-llibre
| last = Garrett
 
|last = Garrett
| first = Paul
 
|first = Paul
| year = 2004
 
|any = 2004
| title = Notes on First-Year Calculus
 
|títol = Notes on First-Year Calculus
| url = http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/
 
|url = http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/
}}
 
}}
*{{Citation
 
* {{Ref-llibre
| last = Hussain
 
|last = Hussain
| first = Faraz
 
|first = Faraz
| year = 2006
 
|any = 2006
| title = Understanding Calculus
 
|títol = Understanding Calculus
| url = http://www.understandingcalculus.com/
 
|url = http://www.understandingcalculus.com/
}}
 
}}
*{{Citation
 
* {{Ref-llibre
| last = Keisler
 
|last = Keisler
| first = H. Jerome
 
|first = H. Jerome
| year = 2000
 
|any = 2000
| title = Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
 
|títol = Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
| url = http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
 
|url = http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
}}
 
}}
*{{Citation
 
* {{Ref-llibre
| last = Mauch
 
|last = Mauch
| first = Sean
 
|first = Sean
| year = 2004
 
|any = 2004
| title = Unabridged Version of Sean's Applied Math Book
 
|títol = Unabridged Version of Sean's Applied Math Book
| url = http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html
 
|url = http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html
}}
 
}}
*{{Citation
 
* {{Ref-llibre
| last = Sloughter
 
|last = Sloughter
| first = Dan
 
|first = Dan
| year = 2000
 
|any = 2000
| title = Difference Equations to Differential Equations
 
|títol = Difference Equations to Differential Equations
| url = http://synechism.org/drupal/de2de/
 
|url = http://synechism.org/drupal/de2de/
}}
 
}}
*{{Citation
 
* {{Ref-llibre
| last = Strang
 
|last = Strang
| first = Gilbert
 
|first = Gilbert
| year = 1991
 
|any = 1991
| title = Calculus
 
|títol = Calculus
| url = http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm
 
|url = http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm
}}
 
}}
*{{Citation
 
* {{Ref-llibre
| last = Stroyan
 
|last = Stroyan
| first = Keith D.
 
|first = Keith D.
| year = 1997
 
|any = 1997
| title = A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus
 
|títol = A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus
| url = http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm
 
|url = http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm
}}
 
}}
*{{Citation
 
* {{Ref-llibre
| last = Wikibooks
 
|last = Wikibooks
| title = Calculus
 
|títol = Calculus
| url = http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus
 
|url = http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus
}}
 
}}
 
 
 
[[Category:Mathematical analysis]]
[[Category:Differential calculus]]
[[Category:Functions and mappings]]
[[Category:Linear operators in calculus]]
[[en:Second derivative]]
170.156

modificacions