Diferència entre revisions de la pàgina «Derivada segona»

2.519 octets eliminats ,  fa 11 anys
 
== Relació amb la gràfica ==
[[ImageFitxer:Animated illustration of inflection point.gif|400px|thumb|ALa plotgràfica ofde <math>f(x) = \sin(2x)</math> fromdes de <math>-\pi/4</math> tofins a <math>5\pi/4</math>. TheLa recta tangent lineés isblava blueon wherela curvecorba isés concave upconvexa, greenverda whereon thela curvecorba isés concave downcòncava, andi redvermella atals inflectionpunts pointsd'inflexió (<math>0</math>, <math>\pi/2</math>, andi <math>\pi</math>).]]
 
[[Il·lustració de Image:Animated de punt d'inflexió. gif|400px|thumb|Una trama de <math>f(x) = \sin(2x)</math> des de <math>-\pi/4</math> fins a <math>5\pi/4</math>. La recta tangent és blava cap amunt d'on la corba és còncava, verd on la corba és còncava avall, i el vermell a inflexió juga (<math>0</math>, <math>\pi/2</math>, i <math>\pi</math>).]]
 
=== Concavitat ===
The second derivative of a function &fnof; measures the '''concavity''' of the graph of &fnof;. A function whose second derivative is positive will be [[concave up]] (sometimes referred to as convex), meaning that the [[tangent]] line will lie below the graph of the function. Similarly, a function whose second derivative is negative will be [[concave down]] (sometimes called simply &ldquo;concave&rdquo;), and its tangent lines will lie above the graph of the function.
 
ElLa segonsegona derivatderivada d'una funció ƒ mesuresmesura ella '''concavitat''' delde gràficla gràfica de ƒ. Una funció eltal segonque della qualseva elderivada derivatsegona és positiupositiva serà [[còncava amuntconvexa]], (ael vegadesque enviatvol a com convex), significantdir que la recta tangent seràquedarà per sota el gràfic de la funció. SimilarmentDe forma Similar, una funció eltal segonque della qualseva elderivada derivatsegona éssigui negatiunegativa serà [[tangent|còncava]] [[avall]] (a vegades anomenat simplement “concave”), i les seves rectes tangents seranquedaran per damunt eldel gràfic de la funció.
 
=== Punts d'inflexió ===
{{main|Inflection point}}
 
{{Principal|Punt d'inflexió}}
If the second derivative of a function changes sign, the graph of the function will switch from concave down to concave up, or vice versa. A point where this occurs is called an '''inflection point'''. Assuming the second derivative is continuous, it must take a value of zero at any inflection point, although not every point where the second derivative is zero is necessarily a point of inflection.
 
Si ella segonderivada derivatsegona d'una funció canvia senyalde signa, el gràfic de la funció es canviarà de còncau avallcòncava a còncau amuntconvexa, o viceversa. Un punt on això ocorre s'anomena un '''punt d'inflexió'''. Suposant que ella segonderivada derivatsegona éssigui continucontinua, ha de prendre un valor de zero en qualsevol punt d'inflexió, encara que no tots els punts on ella segonderivada derivatsegona sónés zero són necessàriament un puntpunts d'inflexió.
 
=== Test de la derivada segona ===
{{Principal|SegonaTest provade la derivada segona}}
{{main|Second derivative test}}
La relació entre ella segonsegona derivatderivada i el gràfic es pot fafer servirrservir per provar si un [[punt estacionari]] per a d'una funció (i.e. un punt on <math>f'(x)=0\!</math>) és un [[màxims i mínims|màxim local]] o un [[màxims i mínims|mínim local]]. Específicament
 
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) < 0</math> llavors <math>\ f</math> té un màxim local a <math>\ x</math>.
{{Principal|Segona prova derivada}}
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) > 0</math> llavors <math>\ f</math> té un mínim local a <math>\ x</math>.
The relation between the second derivative and the graph can be used to test whether a [[stationary point]] for a function (i.e. a point where <math>f'(x)=0\!</math>) is a [[local maximum]] or a [[local minimum]]. Specifically,
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) = 0</math>, el segontest quede la prova derivada segona no diu res al voltantrespecte del punt <math>\ x</math>, un punt d'inflexió possible.
 
La relació entre el segon derivat i el gràfic es pot fa servirr per provar si un [[punt estacionari]] per a una funció (i.e. un punt on <math>f'(x)=0\!</math>) és un [[màxims i mínims|màxim local]] o un [[màxims i mínims|mínim local]]. Específicament
* If <math>\ f^{\prime\prime}(x) < 0</math> then <math>\ f</math> has a local maximum at <math>\ x</math>.
 
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) < 0</math> llavors <math>\ f</math> té un màxim local a <math>\ x</math>.
* If <math>\ f^{\prime\prime}(x) > 0</math> then <math>\ f</math> has a local minimum at <math>\ x</math>.
 
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) > 0</math> llavors <math>\ f</math> té un mínim local a <math>\ x</math>.
* If <math>\ f^{\prime\prime}(x) = 0</math>, the second derivative test says nothing about the point <math>\ x</math>, a possible inflection point.
 
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) = 0</math>, el segon que la prova derivada no diu res al voltant del punt <math>\ x</math>, un punt d'inflexió possible.
The reason the second derivative produces these results can be seen by way of a real-world analogy. Consider a vehicle that at first is moving forward at a great velocity, but with a negative acceleration. Clearly the position of the vehicle at the point where the velocity reaches zero will be the maximum distance from the starting position – after this time, the velocity will become negative and the vehicle will reverse. The same is true for the minimum, with a vehicle that at first has a very negative velocity but positive acceleration.
 
La raó elper segonla derivatque la derivada segona produeix aquests resultats poden ser vistos a tallamb d'una analogia de món real. ConsideriConsidereu un vehicle que al principi s'està movent endavant a una gran velocitat, però amb una acceleració negativa. Clarament la posició del vehicle en el punt on la velocitat arriba a zero serà la màxima distància des de la posició de sortida - després que aquestad'aquest vegadamoment, la velocitat es tornitorna negativa i el vehicle facifa marxa enrere. El mateix és veritable per al mínim, amb un vehicle que al principi té una velocitat molt negativa excepteperò acceleració positiva.
 
== Límit ==
15.103

modificacions