|
== Definició ==
Formally, the construction is as follows {{harv|Halmos|1974|loc=§21-22}}. Let ''V'' be a [[vector space]] over a [[field (mathematics)|field]] ''K'', and let ''N'' be a [[linear subspace|subspace]] of ''V''. We define an [[equivalence relation]] ~ on ''V'' by stating that ''x'' ~ ''y'' if ''x'' − ''y'' ∈ ''N''. That is, ''x'' is related to ''y'' if one can be obtained from the other by adding an element of ''N''. From this definition, one can deduce that any element of ''N'' is equivalent to the zero vector; in other words all the vectors in ''N'' get mapped into the equivalence class of the zero vector.
Formalment, la construcció éses fa de la manera següent {{harv|Halmos|1974|loc=§21-22}}. Sia ''V'' un [[espai vectorial]] sobre un [[cos (matemàtiques)|campcos]] ''K'', i deixarsia ''N'' ser un [[subespai]] de ''V'' . DefinimEs defineix una [[relació d'equivalència]] ~ damunta ''V'' manifestantestablint allòque ''x'' ~ ''y'' si ''x'' − ''y'' ∈ ''N'' . És a dir ''x'' ésestà referitrelacionat aamb ''y'' si un se'nes pot obtenir desa partir de l'altre afegint-li un element de ''N'' . D'aquesta definició, unes pot deduir allòque qualsevol element de ''N'' és equivalent al zero vector zero; en altres paraules tots els vectors en ''N'' ser correspostcorresponen a la classe d'equivalència del vector zero vector.
La [[classe d'equivalència]] de ''x'' és sovint denotates nota▼
The [[equivalence class]] of ''x'' is often denoted
▲La [[classe d'equivalència]] de ''x'' és sovint denotat
:[''x''] = ''x'' + ''N''
ja que ve donada per
: [''x'' ] = ''x'' + ''N'' ▼since it is given by
ja que es dóna a prop
:[''x''] = {''x'' + ''n'' : ''n'' ∈ ''N''}. ▼
: [''x'' ] = {''x'' + ''n'' : ''n'' ∈ ''N'' }.
L'espai quocient ''V'' /''N'' és llavors definites defineix com ''V'' /~, el conjunt de totatotes lels classes d'equivalència classifica per damuntsobre ''V'' per ~. La multiplicació per un escalar i l'addició es defineixen en les classes d'equivalència a propper▼▲:* α;[''x''] = {[α;''x'' ] +per ''n''a :tot ''n''α; ∈∈ '' NK'' }., i
▲:* [''x'' ] + [''y''] = [''x'' + '' Ny'' ].
No és durdificil d'aturarcomprovar que aquestes operacions siguinestan [[ well-definedben definides]] ( i.e.és a dir no depenguidepenen de l'elecció dedel representant). Aquestes operacions girenconverteixen l'espai quocient ''V'' /''N'' a un espai vectorial sobre ''K'' ambon ''N'' sentés la zero classe zero, [0]. ▼
ElLa mapatgeaplicació que s'associa a ''v'' ∈ ''V'' la classe d'equivalència [''v'' ] éses sabutconeix com ell' ''' mapa deaplicació quocient'''. ▼
The quotient space ''V''/''N'' is then defined as ''V''/~, the set of all equivalence classes over ''V'' by ~. Scalar multiplication and addition are defined on the equivalence classes by
▲L'espai quocient ''V'' /''N'' és llavors definit com ''V'' /~, el conjunt de tota l'equivalència classifica per damunt ''V'' per ~. La multiplicació escalar i addició es defineixen en les classes d'equivalència a prop
*α[''x''] = [α''x''] for all α ∈ ''K'', and
* α;[''x'' ] = [α;''x'' ] per a tot el α; ∈ ''K'', i
*[''x''] + [''y''] = [''x''+''y''].
* [''x'' ] + [''y'' ] = [''x'' +''y'' ].
It is not hard to check that these operations are [[well-defined]] (i.e. do not depend on the choice of representative). These operations turn the quotient space ''V''/''N'' into a vector space over ''K'' with ''N'' being the zero class, [0].
▲No és dur d'aturar que aquestes operacions siguin [[well-defined]] (i.e. no depengui de l'elecció de representant). Aquestes operacions giren l'espai quocient ''V'' /''N'' a un espai vectorial sobre ''K'' amb ''N'' sent la zero classe, [0].
The mapping that associates to ''v'' ∈ ''V'' the equivalence class [''v''] is known as the '''quotient map'''.
▲El mapatge que s'associa a ''v'' ∈ ''V'' la classe d'equivalència [''v'' ] és sabut com el '''mapa de quocient'''.
== Exemples ==
| 