Diferència entre revisions de la pàgina «Espai vectorial quocient»

== Propietats ==
 
ThereHi isha a naturalun [[epimorphismepimorfisme]] fromnatural de ''V'' toa the quotientl'espai spacequocient ''V''/''U'' givendonat bya sendingbase de fer correspondre ''x'' toa itsla equivalenceseva classclasse d'equivalència [''x'']. TheEl [[kernelnucli (algebramatemàtiques)|kernelnucli]] (or [[nullspace]]) of thisd'aquest epimorphismepimorfisme isés theel subspacesubespai ''U''. ThisAquesta relationshiprelació isqueda neatlyresumida summarizedclarament byper thela [[short exactsuccessió sequenceexacta]]
 
Hi ha un [[epimorfisme]] natural de ''V'' a l'espai quocient ''V'' /''U'' donat enviant ''x'' a la seva classe d'equivalència [''x'' ]. El [[nucli (matemàtiques)|nucli]] (o [[nullspace)]] d'aquest epimorfisme és el subespai ''U'' . Aquesta relació és polidament resumida per la [[seqüència exacta curta]]
:<math>0\to U\to V\to V/U\to 0.\,</math>
 
Si ''U'' és un subespai de ''V'', la [[dimensió d'un espai vectorial|dimensió]] de ''V'' /''U'' éss'anomena anomenat ella '''[[codimensió]]''' de ''U'' en ''V'' . DesCom d'unaa base de ''V'' es pot serconstruir construïta despartir d'una base ''A'' de ''U'' i una base ''B'' de ''V'' /''U'' afegint un representant de cada element de ''B'' a ''A'', la dimensió de ''V'' és la suma de les dimensions de ''U'' i ''V'' /''U'' . Si ''V'' és de [[dimensió d'un espai vectorial|finitdimensió dimensionalfinita]], segueixporta com a conseqüència que la codimensió de ''U'' en ''V'' és la diferència entre les dimensions de ''V'' i ''U'' {{harv|Halmos|1974|loc=Theorem 22.2}}:
 
 
If ''U'' is a subspace of ''V'', the [[dimension (vector space)|dimension]] of ''V''/''U'' is called the '''[[codimension]]''' of ''U'' in ''V''. Since a basis of ''V'' may be constructed from a basis ''A'' of ''U'' and a basis ''B'' of ''V''/''U'' by adding a representative of each element of ''B'' to ''A'', the dimension of ''V'' is the sum of the dimensions of ''U'' and ''V''/''U''. If ''V'' is [[finite-dimensional]], it follows that the codimension of ''U'' in ''V'' is the difference between the dimensions of ''V'' and ''U'' {{harv|Halmos|1974|loc=Theorem 22.2}}:
 
Si ''U'' és un subespai de ''V'', la [[dimensió d'un espai vectorial|dimensió]] de ''V'' /''U'' és anomenat el '''[[codimensió]]''' de ''U'' en ''V'' . Des d'una base de ''V'' pot ser construït des d'una base ''A'' de ''U'' i una base ''B'' de ''V'' /''U'' afegint un representant de cada element de ''B'' a ''A'', la dimensió de ''V'' és la suma de les dimensions de ''U'' i ''V'' /''U'' . Si ''V'' és [[dimensió d'un espai vectorial|finit dimensional]], segueix que la codimensió de ''U'' en ''V'' és la diferència entre les dimensions de ''V'' i ''U'' {{harv|Halmos|1974|loc=Theorem 22.2}}:
:<math>\mathrm{codim}(U) = \dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U).</math>
 
Sia ''T'' : ''V'' → ''W'' un [[operador lineal]]. El nucli de ''T'', denotatnotat ker(''T''), és el conjunt de tot ''x'' ∈ ''V'' tal que ''Tx'' = 0. El nucli és un subespai de ''V'' . El [[primer teorema d'isomorfisme]] d'àlgebra lineal diu que l'espai quocient ''V'' /ker(''T'') és isomorf a la imatge de ''V'' en ''W'' . Un corol·lari immediat, per a espais finitsde dimensió dimensionalsfinita, és el [[teorema del rang]] de NUL·LITAT de FILA: la dimensió de ''V'' és igual a la dimensió del nucli (el ''nul·litat'' de ''T'' ) més la dimensió de la imatge (el ''filarang'' de ''T'' ).
 
El [[conucli]] d'un operador lineal ''T'' : ''V'' → ''W'' éses definitdefineix sercom l'espai quocient ''W'' /im(''T'') .
 
Let ''T'' : ''V'' &rarr; ''W'' be a [[linear operator]]. The kernel of ''T'', denoted ker(''T''), is the set of all ''x'' &isin; ''V'' such that ''Tx'' = 0. The kernel is a subspace of ''V''. The [[first isomorphism theorem]] of linear algebra says that the quotient space ''V''/ker(''T'') is isomorphic to the image of ''V'' in ''W''. An immediate corollary, for finite-dimensional spaces, is the [[rank-nullity theorem]]: the dimension of ''V'' is equal to the dimension of the kernel (the ''nullity'' of ''T'') plus the dimension of the image (the ''rank'' of ''T'').
 
Sia ''T'' : ''V'' → ''W'' un [[operador lineal]]. El nucli de ''T'', denotat ker(''T''), és el conjunt de tot ''x'' ∈ ''V'' tal que ''Tx'' = 0. El nucli és un subespai de ''V'' . El [[primer teorema d'isomorfisme]] d'àlgebra lineal diu que l'espai quocient ''V'' /ker(''T'') és isomorf a la imatge de ''V'' en ''W'' . Un corol·lari immediat, per a espais finits dimensionals, és el [[teorema]] de NUL·LITAT de FILA: la dimensió de ''V'' és igual a la dimensió del nucli (el ''nul·litat'' de ''T'' ) més la dimensió de la imatge (el ''fila'' de ''T'' ).
 
 
 
The [[cokernel]] of a linear operator ''T'' : ''V'' &rarr; ''W'' is defined to be the quotient space ''W''/im(''T'').
 
El [[conucli]] d'un operador lineal ''T'' : ''V'' → ''W'' és definit ser l'espai quocient ''W'' /im(''T'') .
 
== Quocient d'un espai Banach per un subespai ==
15.103

modificacions