Equació diferencial lineal: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m traducció automàtica feta a petició de Usuari Discussió:Gomà pendent de revisió per l'usuari |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
{{Traducció|en|Linear differential equation}}
: <math> Ly = f \,</math>
on l'[[operador diferencial]] ''L'' és un [[operador lineal]], ''y'' és la funció desconeguda (per exemple una funció del temps y(t)), i el terme de la dreta ƒ és una funció donada de la mateixa natura que ''y''. Per a una funció dependent del temps es pot escriure l'equació com
: <math> L y(t) = f(t) \,</math>
i, fins i tot més precisament
: <math> L [y(t)] = f(t) \,</math>
L'operador lineal ''L'' es pot considerar de la forma<ref>Gershenfeld 1999, p.9 </ref>.
: <math>L_n(y) \equiv \frac{d^n y}{dt^n} + A_1(t)\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots +
A_{n-1}(t)\frac{dy}{dt} + A_n(t)y \,</math>
La condició de linealitat de ''L'' exclou operacions com el quadrat de la [[derivada]] de ''y''; però admet, per exemple, la [[derivada segona]] de ''y'' .
És convenient reescriure aquesta equació en forma d'operador
: <math> L_n(y) \equiv \left[\,D^n + A_{1}(t)D^{n-1} + \cdots + A_{n-1}(t) D + A_n(t)\right] y</math>
on ''D'' és l'operador diferencial ''d/dt'' (és a dir ''Dy = y'', ''D'' <sup>2</sup>''y = y"... '' ), i ''A<sub>n</sub>'' són funcions donades.
<!-- i el terme independent es considera que és una funció del temps ƒ(''t'') .-->
Tal equació es diu que té '''ordre''' ''n'', l'índex de la derivada més alt de ''y''.
Un exemple simple típic és l'equació diferencial lineal que es fa servir per modelitzar la decadència radioactiva<ref>Robinson 2004, p.5</ref>. Sia N(t) el nombre d'àtoms radioactius en alguna mostra de material (com una porció del drap del [[Sant sudari|sudari de Torí]]<ref>Robinson 2004, p.7</ref>) en el moment t. Llavors per a alguna constant k > 0,
el nombre d'àtoms radioactius que es descomponen es pot modelar per
:<math> \frac{dN}{dt} = -k N\,</math>
Si ''y'' és se suposa que és una funció de només una variable, es parla de una [[equació diferencial ordinària]], si les derivades i els seus coeficients s'entenen com ([[Contracció tensorial|contrets]]) vectors, matrius o [[tensor|tensors]] de rang superior, es té una [[equació diferencial en derivades parcials]] (lineal).
El cas on ƒ = 0 s'anomena una '''equació homogènia''' i les seves solucions s'anomenen '''funcions complementàries'''. És especialment important per la solució del cas general, ja que qualsevol funció complementària es pot afegir a una solució de l'equació no homogènia per donar una altra solució (per un mètode tradicionalment anomenat ''integral particular i funció complementària'' ). Quan els ''A<sub>i</sub>'' són nombres, l'equació es diu que té ''[[coeficients constants]]'' .
== Equacions homogènies amb coeficients constants ==
Linha 201 ⟶ 144:
Un cas que implica arrels complexes es pot resoldre amb l'ajut de [[Fórmula d'Euler|La fórmula d'euler]].
=== Exemples ===
Linha 243 ⟶ 182:
donarà nosaltres una base genuïna en <math>\{u_1,u_2\}</math>.
==== Oscil·lador harmònic simple ====
Linha 349 ⟶ 284:
:<math> y_H = C_0 \cos (k x) + C_1 \sin (k x). </math>
==== Dscil·lador harmònic esmorteït ====
Given the equation for the damped [[harmonic oscillator]]:
Linha 459 ⟶ 390:
== Equació no homogènia amb coeficients constants ==
To obtain the solution to the '''non-homogeneous equation''' (sometimes called '''inhomogeneous equation'''), find a particular solution ''y''<sub>''P''</sub>(''x'') by either the [[method of undetermined coefficients]] or the [[method of variation of parameters]]; the general solution to the linear differential equation is the sum of the general solution of the related homogeneous equation and the particular solution.
Linha 565 ⟶ 491:
La solució particular no és única; <Math>y_p+c_1y_1+\cdots+c_ny_n</math> també satisfà l'Oda per a qualsevol conjunt de constants ''c<sub>j</sub>'' .
=== Exemple ===
Linha 763 ⟶ 686:
Per al motiu d'interès, aquesta Oda té una interpretació física com un [[moviment harmònic|oscil·lador harmònic]] humitejat conduït; ''y<sub>p</sub>'' representa el règim permanent, i <math>c_1y_1+c_2y_2</math> és el transeünt.
== Equació amb coeficients variables ==
A linear ODE of order ''n'' with variable coefficients has the general form
Linha 776 ⟶ 693:
:<math>p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x).</math>
=== Exemples ===
Linha 793 ⟶ 707:
== Equació de primer ordre ==
{{ExampleSidebar|35%|Solve the equation
Linha 932 ⟶ 843:
: <math>a(x)=\int{f(x)\,dx}.</math>
=== Exemples ===
Linha 967 ⟶ 875:
:<math>y(x) = e^{-bx} \left( e^{bx}/b+ C \right) = 1/b + C e^{-bx} .</math>
== Vegeu també ==
Linha 981 ⟶ 886:
* [[Transformada de Laplace| transformació de]] LAPLACE
== Notes ==
Linha 991 ⟶ 893:
{{Referències|2}}
== Referències ==
Linha 1.079 ⟶ 978:
[[Categoria:Equacions diferencials]]
[[ar:معادلة تفاضلية خطية]]
| |||