Diferència entre revisions de la pàgina «Equació diferencial lineal»

|}
 
El precedirprecedent donavadona una solució per al cas quanen totque posatots aels zerozeros són clardiferents, és a dir, cada un té [[Multiplicity#multiplicityMultiplicitat d'una arrel d'un polinomi|multiplicitat]]|MULTIPLICITAT|multiplicitat]] 1. Per al cas general, si ''z'' és un (possiblement complex) [[arrel aritmèticad'una funció|zero]] (o arrel) (possiblement complexa) de ''F'' (''z'') multiplicitat quei multiplicitat ''m'', llavors, per <math>k\in\{0,1,\dots,m-1\} \,</math>, <math>y=x^ke^{zx} \,</math> és una solució de l'OdaEDO. Aplicant-se això a totes les arrels dóna una recollidacol·lecció de ''n'' funcions claresdiferents i linealment independents, on ''n'' és el grau de ''F'' (''z'') . TanCom abans, aquestes funcions constitueixen una base perde l'espai de solució.
 
Si els coeficients ''A<sub>i</sub>'' de l'equació diferencial són realreals, llavors en general les solucions genuïnament valoradesreals són generalment preferibles. DesCom que les d'arrels no genuïnesreals ''z'' llavors venir en parellsparelles de complexos [[conjugat|conjugate]]s, així fatambé les seves funcions de base corresponents {{nowrap|''x''<sup>''k''</sup>e<sup>''zx''</sup>}}, i el resultat desitjat s'obté canviant cada parell pelper seu Y dela [[combinació lineal|linear combinations]] RE(''genuïnamentdels valorat'')valors i Yreals de IM(''''),la onseva ''y''[[part ésreal]] unla delseva parell[[part imaginaria]].
The preceding gave a solution for the case when all zeros are distinct, that is, each has [[Multiplicity#Multiplicity of a root of a polynomial|multiplicity]] 1. For the general case, if ''z'' is a (possibly complex) [[root of a function|zero]] (or root) of ''F''(''z'') having multiplicity ''m'', then, for <math>k\in\{0,1,\dots,m-1\} \,</math>, <math>y=x^ke^{zx} \,</math> is a solution of the ODE. Applying this to all roots gives a collection of ''n'' distinct and linearly independent functions, where ''n'' is the degree of ''F''(''z''). As before, these functions make up a basis of the solution space.
 
Un cas que implicaimpliqui arrels complexes es pot resoldre amb l'ajut de [[Fórmula d'Euler|La fórmula d'euler]].
El precedir donava una solució per al cas quan tot posa a zero són clar, és a dir, cada un té [[Multiplicity#multiplicity d'una arrel d'un polinomi|multiplicitat]]|MULTIPLICITAT|multiplicitat]] 1. Per al cas general, si ''z'' és un (possiblement complex) [[arrel aritmètica|zero]] (o arrel) de ''F'' (''z'') multiplicitat que té ''m'', llavors, per <math>k\in\{0,1,\dots,m-1\} \,</math>, <math>y=x^ke^{zx} \,</math> és una solució de l'Oda. Aplicant-se això a totes les arrels dóna una recollida de ''n'' funcions clares i linealment independents, on ''n'' és el grau de ''F'' (''z'') . Tan abans, aquestes funcions constitueixen una base per l'espai de solució.
 
 
 
If the coefficients ''A<sub>i</sub>'' of the differential equation are real, then real-valued solutions are generally preferable. Since non-real roots ''z'' then come in [[complex conjugate|conjugate]] pairs, so do their corresponding basis functions {{nowrap|''x''<sup>''k''</sup>e<sup>''zx''</sup>}}, and the desired result is obtained by replacing each pair with their real-valued [[linear combination]]s [[real part|Re(''y'')]] and [[Imaginary part|Im(''y'')]], where ''y'' is one of the pair.
 
Si els coeficients ''A<sub>i</sub>'' de l'equació diferencial són real, llavors les solucions genuïnament valorades són generalment preferibles. Des d'arrels no genuïnes ''z'' llavors venir en parells de [[conjugat|conjugate]], així fa les seves funcions de base corresponents {{nowrap|''x''<sup>''k''</sup>e<sup>''zx''</sup>}}, i el resultat desitjat s'obté canviant cada parell pel seu Y de [[combinació lineal|linear combinations]] RE(''genuïnament valorat'') i Y de IM(''''), on ''y'' és un del parell.
 
 
 
A case that involves complex roots can be solved with the aid of [[Euler's formula]].
 
Un cas que implica arrels complexes es pot resoldre amb l'ajut de [[Fórmula d'Euler|La fórmula d'euler]].
 
=== Exemples ===
 
 
 
Given <math>y''-4y'+5y=0 \,</math>. The characteristic equation is <math>z^2-4z+5=0 \,</math> which has zeroes 2+''i'' and 2−''i''. Thus the solution basis <math>\{y_1,y_2\}</math> is <math>\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\} \,</math>. Now ''y'' is a solution [[if and only if]] <math>y=c_1y_1+c_2y_2 \,</math> for <math>c_1,c_2\in\mathbb C</math>.
15.103

modificacions