|
=== Exemples ===
GivenDonat <math>y''-4y'+5y=0 \,</math>. The characteristicL'equació equationcaracterística isés <math>z^2-4z+5=0 \,</math> whichque hasté zeroes 2+'' i'' andi 2−'' i''. ThusAixí thela solutionsolució basisbase <math>\{y_1,y_2\}</math> isés <math>\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\} \,</math>. NowAra ''y'' isés auna solutionsolució [[ifsi andi onlynomés ifsi]] <math>y=c_1y_1+c_2y_2 \,</math> forper a <math>c_1,c_2\in\mathbb C</math>.
PerquèCom que els coeficients són genuïnsreals,▼Donat <math>y''-4y'+5y=0 \,</math>. L'equació característica és <math>z^2-4z+5=0 \,</math> que té zeroes 2+'' i''i 2−'' i''. Així la base de solució <math>\{y_1,y_2\}</math> és <math>\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\} \,</math>. Ara'' y '' és una solució [[si i només si]] <math>y=c_1y_1+c_2y_2 \,</math> per a <math>c_1,c_2\in\mathbb C</math>.
* Probablement no se'nshi interessaha probablementinteres en les solucions complexes ▼
* els nostres elements de base són mutusmútuament conjugaconjugats▼
Because the coefficients are real,
▲Perquè els coeficients són genuïns
*we are likely not interested in the complex solutions
▲* no se'ns interessa probablement en les solucions complexes
*our basis elements are mutual conjugates
▲* els nostres elements de base són mutus conjuga
The linear combinations
Les combinacions lineals
:<math>u_1=\mbox{Re}(y_1)=\frac{y_1+y_2}{2}=e^{2x}\cos(x) \,</math> andi▼
▲:<math>u_1=\mbox{Re}(y_1)=\frac{y_1+y_2}{2}=e^{2x}\cos(x) \,</math> and
:<math>u_2=\mbox{Im}(y_1)=\frac{y_1-y_2}{2i}=e^{2x}\sin(x) \,</math>
donarà nosaltresdonaran una base genuïnareal en <math>\{u_1,u_2\}</math>. ▼
will give us a real basis in <math>\{u_1,u_2\}</math>.
▲donarà nosaltres una base genuïna en <math>\{u_1,u_2\}</math>.
==== Oscil·lador harmònic simple ====
| 