Diferència entre revisions de la pàgina «Equació diferencial lineal»

==== Oscil·lador harmònic simple ====
 
L'equació diferencial de segon ordre
 
 
The second order differential equation
 
El segon demanar equació diferencial
 
 
 
:<math> D^2 y = -k^2 y, </math>
 
quinque representa un [[moviment harmònic|oscil·lador harmònic]] simple, es pot ser reafirmatreformular com
 
 
which represents a simple [[harmonic oscillator]], can be restated as
 
quin representa un [[moviment harmònic|oscil·lador harmònic]] simple, pot ser reafirmat com
 
 
 
:<math> (D^2 + k^2) y = 0. </math>
 
L'expressió en el parèntesi es pot ser factoreddescompondre outen forafactors, cedintdonat
 
 
The expression in parenthesis can be factored out, yielding
 
L'expressió en el parèntesi pot ser factored out fora, cedint
 
 
 
:<math> (D + i k) (D - i k) y = 0,</math>
 
quinque té un parell de solucions linealment independents, ununa per
 
 
which has a pair of linearly independent solutions, one for
 
quin té un parell de solucions linealment independents, un per
 
 
 
:<math> (D - i k) y = 0 </math>
 
 
 
and another for
 
i un altre per
 
 
 
:<math> (D + i k) y = 0. </math>
 
Les solucions són, respectivament,
 
 
The solutions are, respectively,
 
Les solucions són, respectivament
 
 
 
:<math> y_0 = A_0 e^{i k x} </math>
 
 
 
and
 
i
 
 
 
:<math> y_1 = A_1 e^{-i k x}. </math>
 
Aquestes solucions proporcionen una base per l'"[[espai vectorial|espai de solució]]" bidimensional delde l'equació diferencial de segon ordre: equacióEl diferencial:que vol significantdir que les combinacions lineals d'aquestes solucions també seran solucions. En particular, les solucions següents es poden construir les solucions següents
 
 
These solutions provide a basis for the two-dimensional "[[vector space|solution space]]" of the second order differential equation: meaning that linear combinations of these solutions will also be solutions. In particular, the following solutions can be constructed
 
Aquestes solucions proporcionen una base per l'"[[espai vectorial|espai de solució]]" bidimensional del segon ordre equació diferencial: significant que les combinacions lineals d'aquestes solucions també seran solucions. En particular, les solucions següents es poden construir
 
 
 
:<math> y_{0'} = {A_0 e^{i k x} + A_1 e^{-i k x} \over 2} = C_0 \cos (k x) </math>
 
 
 
and
 
i
 
 
 
:<math> y_{1'} = {A_0 e^{i k x} - A_1 e^{-i k x} \over 2 i} = C_1 \sin (k x). </math>
 
Aquestes dues últimes solucions trigonometrictrigonomètriques són linealment independents, aixíper tant poden servir d'unaper un altra base per l'espai de solució, produint la solució general següent:
 
 
These last two trigonometric solutions are linearly independent, so they can serve as another basis for the solution space, yielding the following general solution:
 
Aquestes dues últimes solucions trigonometric són linealment independents, així poden servir d'una altra base per l'espai de solució, produint la solució general següent:
 
 
 
:<math> y_H = C_0 \cos (k x) + C_1 \sin (k x). </math>
15.103

modificacions