Diferència entre revisions de la pàgina «Equació diferencial lineal»

L'equació diferencial de segon ordre
 
:<math> D^2 y = -k^2 y, \,</math>
 
que representa un [[moviment harmònic]] simple, es pot reformular com
 
:<math> (D^2 + k^2) y = 0. \,</math>
 
L'expressió en parèntesi es pot descompondre en factors, donat
 
:<math> (D + i k) (D - i k) y = 0\,</math>
 
que té un parell de solucions linealment independents, una per
 
:<math> (D - i k) y = 0 \,</math>
 
i un altre per
 
:<math> (D + i k) y = 0. \,</math>
 
Les solucions són, respectivament,
 
:<math> y_0 = A_0 e^{i k x} \,</math>
 
i
 
:<math> y_1 = A_1 e^{-i k x}. \,</math>
 
Aquestes solucions proporcionen una base per l'"[[espai vectorial|espai solució]]" bidimensional de l'equació diferencial de segon ordre: El que vol dir que les combinacions lineals d'aquestes solucions també seran solucions. En particular, es poden construir les solucions següents
 
:<math> y_{0'} = {A_0 e^{i k x} + A_1 e^{-i k x} \over 2} = C_0 \cos (k x) \,</math>
 
i
 
:<math> y_{1'} = {A_0 e^{i k x} - A_1 e^{-i k x} \over 2 i} = C_1 \sin (k x). \,</math>
 
Aquestes dues últimes solucions trigonomètriques són linealment independents, per tant poden servir per un altra base per l'espai de solució, produint la solució general següent:
 
:<math> y_H = C_0 \cos (k x) + C_1 \sin (k x). \,</math>
 
==== Dscil·lador harmònic esmorteït ====
15.103

modificacions