Equació diferencial lineal: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Línia 136:
==== Dscil·lador harmònic esmorteït ====
▲Donat l'equació per a l'[[moviment harmònic|oscil·lador harmònic]] humitejat:
:<math> \left(D^2 + {b \over m} D + \omega_0^2\right) y = 0, </math>
l'expressió
▲l'expressió en parèntesis pot ser factored out fora: primer obtenir l'equació característica reemquadratnt ''D'' amb λ;. Aquesta equació ha de ser satisfeta per a tot ''y'', així:
:<math> \lambda^2 + {b \over m} \lambda + \omega_0^2 = 0. </math>
Es resol fent servir la fórmula de l'[[equació de segon grau]]:
:<math> \lambda = {-b/m \pm \sqrt{b^2 / m^2 - 4 \omega_0^2} \over 2}. </math>
▲Utilitzi aquestes dades a factor fora l'equació diferencial original:
:<math> \left(D + {b \over 2 m} - \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2} \right) \left(D + {b \over 2m} + \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2}\right) y = 0. </math>
▲Això implica un parell de solucions, corresponent-se un a
:<math> \left(D + {b \over 2 m} - \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2} \right) y = 0 </math>
i un altre a
:<math> \left(D + {b \over 2m} + \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2}\right) y = 0 </math>
Les solucions són, respectivament
:<math> y_0 = A_0 e^{-\omega x + \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} = A_0 e^{-\omega x} e^{\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} </math>
i
:<math> y_1 = A_1 e^{-\omega x - \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} = A_1 e^{-\omega x} e^{-\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} </math>
on ω; = ''b'' / 2 ''m'' .
▲on ω; = ''b'' / 2 ''m'' . Des d'aquest parell linealment independent de solucions pot ser construït un altre parell linealment independent que així serveixen com a base per l'espai de solució bidimensional:
:<math> y_H (A_0, A_1) (x) = \left(A_0 \sinh \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x + A_1 \cosh \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x\right) e^{-\omega x}. </math>
Tanmateix, si|ω
▲Tanmateix, si|ω;| < |ω;<sub>0</sub>| llavors és preferible aconseguir lliurar dels imaginaries consequential, expressant la solució general com
:<math> y_H (A_0, A_1) (x) = \left(A_0 \sin \sqrt{\omega_0^2 - \omega^2} x + A_1 \cos \sqrt{\omega_0^2 - \omega^2} x\right) e^{-\omega x}. </math>
Aquesta última solució correspon al cas
▲Aquesta última solució correspon al cas d'underdamped, mentre que l'anterior correspon al cas sobrehumitejat: les solucions per al cas d'underdamped [[oscil·lació|oscil·len]] mentre que les solucions per al cas sobrehumitejat fan no.
== Equació no homogènia amb coeficients constants ==
| |||