Diferència entre revisions de la pàgina «Equació diferencial lineal»

== Equació no homogènia amb coeficients constants ==
 
ToPer obtainobtenir thela solutionsolució tode the ''l'non-homogeneous equation'''equació (sometimes calledno homogènia'''inhomogeneous equation'''), findcal atrobar particularuna solutionsolució particular ''y'' <sub>''P'' </sub>(''x'') byo either thepel [[methodmètode ofde undetermineddels coefficientscoeficients indeterminats]] oro bé thepel [[methodmètode ofde variationvariació ofdels parametersparàmetres]]; thela solució general solutiona tol'equació thediferencial linearlineal differentialés equationla issuma thede sumla of thesolució general solutionde ofl'equació thehomogènia relatedmés homogeneousla equation and thesolució particular solution.
 
Obtenir la solució al '''equació no homogènia''' (a vegades anomenat '''equació inhomogeneous'''), troba una solució particular ''y'' <sub>''P'' </sub>(''x'') o pel [[mètode de coeficients irresoluts]] o pel [[mètode de variació dels paràmetres|mètode de variació de parameters]]; la solució general a l'equació diferencial lineal és la suma de la solució general de l'equació homogènia relacionada i la solució particular.
 
 
 
Suppose we face
 
Suposi que mirem
 
 
Suposant que cal resldre
 
:<math>\frac {d^{n}y(x)} {dx^{n}} + A_{1}\frac {d^{n-1}y(x)} {dx^{n-1}} + \cdots + A_{n}y(x) = f(x).</math>
 
Per a la conveniència posterior, es defineixi el polinomi característic
 
 
For later convenience, define the characteristic polynomial
 
Per a la conveniència posterior, defineixi el polinomi característic
 
 
 
:<math>P(v)=v^n+A_1v^{n-1}+\cdots+A_n.</math>
 
TrobemEs troba la solució base de solució <math>\{y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x)\}</math> com en l'e cas homogeni (''f(x)=0'') cas. Ara busquemes cerca ununa '''solució particular''' ''y<sub>p</sub>(x)'' pel mètode de '''variació dedels paràmetres''' mètode. DeixiSiguin els coeficients de la combinació lineal que ésde funcions de ''x'' :
 
 
We find the solution basis <math>\{y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x)\}</math> as in the homogeneous (''f(x)=0'') case. We now seek a '''particular solution''' ''y<sub>p</sub>(x)'' by the '''variation of parameters''' method. Let the coefficients of the linear combination be functions of ''x'':
 
Trobem la base de solució <math>\{y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x)\}</math> com en l'homogeni (''f(x)=0'') cas. Ara busquem un '''solució particular''' ''y<sub>p</sub>(x)'' pel '''variació de paràmetres''' mètode. Deixi els coeficients de la combinació lineal que és funcions de ''x'' :
 
 
 
:<math>y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x) + \cdots + u_n(x) y_n(x).</math>
 
Per a la facilitat de notació deixaremes treu la dependència damuntde ''x'' (i.e.és a dir elsles diversosdiverses ''(x)'' ). UtilitzantFent servir la notació d'"operador" <math>D=d/dx</math> i un ús amplament importat de notació, l'OdaEDO en qüestió és <math>P(D)y=f</math>; així
 
 
For ease of notation we will drop the dependency on ''x'' (i.e. the various ''(x)''). Using the "operator" notation <math>D=d/dx</math> and a broad-minded use of notation, the ODE in question is <math>P(D)y=f</math>; so
 
Per a la facilitat de notació deixarem la dependència damunt ''x'' (i.e. els diversos ''(x)'' ). Utilitzant la notació d'"operador" <math>D=d/dx</math> i un ús amplament importat de notació, l'Oda en qüestió és <math>P(D)y=f</math>; així
 
 
 
:<math>f=P(D)y_p=P(D)(u_1y_1)+P(D)(u_2y_2)+\cdots+P(D)(u_ny_n).</math>
 
Amb les restriccions
 
 
With the constraints
 
Amb les coaccions
 
 
 
:<math>0=u'_1y_1+u'_2y_2+\cdots+u'_ny_n</math>
:<math>0=u'_1y^{(n-2)}_1+u'_2y^{(n-2)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-2)}_n</math>
 
els paràmetres es desplacen fora, amb una bitmica de "brutícia":
 
 
the parameters commute out, with a little "dirt":
 
els paràmetres es desplacen fora, amb una bit de "brutícia":
 
 
 
:<math>f=u_1P(D)y_1+u_2P(D)y_2+\cdots+u_nP(D)y_n+u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n.</math>
 
 
 
But <math>P(D)y_j=0</math>, therefore
 
Però <math>P(D)y_j=0</math>, per això
 
 
 
:<math>f=u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n.</math>
 
Això, amb les coaccionsrestriccions, dóna un sistema lineal en el <math>u'_j</math>. TantAixò sempre es pot resoldre; de fet, combinant [[Regla de Cramer|La regla de cramer]] amb el [[Wronskià|Wronskian]],
 
 
This, with the constraints, gives a linear system in the <math>u'_j</math>. This much can always be solved; in fact, combining [[Cramer's rule]] with the [[Wronskian]],
 
Això, amb les coaccions, dóna un sistema lineal en el <math>u'_j</math>. Tant sempre es pot resoldre; de fet, combinant [[Regla de Cramer|La regla de cramer]] amb el [[Wronskià|Wronskian]]
 
 
 
:<math>u'_j=(-1)^{n+j}\frac{W(y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_n)_{0 \choose f}}{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)}.</math> <!-- caution: check my sign -->
 
La resta és una qüestió d'integrar <math>u'_j.</math>..
 
La solució particular no és única; <Math>y_p+c_1y_1+\cdots+c_ny_n</math> també satisfà l'OdaEDO per a qualsevol conjunt de constants ''c<sub>j</sub>'' .
 
The rest is a matter of integrating <math>u'_j.</math>
 
La resta és una qüestió d'integrar <math>u'_j.</math>..
 
 
 
The particular solution is not unique; <math>y_p+c_1y_1+\cdots+c_ny_n</math> also satisfies the ODE for any set of constants ''c<sub>j</sub>''.
 
La solució particular no és única; <Math>y_p+c_1y_1+\cdots+c_ny_n</math> també satisfà l'Oda per a qualsevol conjunt de constants ''c<sub>j</sub>'' .
 
 
15.103

modificacions