Subespai vectorial: diferència entre les revisions

Le sous-ensemble ''F'' est un <math>\mathbb K</math>-sous-espacesubespai vectoriel de ''E'' [[Équivalence logique|si et seulement si]] :

La subclasse ''F'' és un <math>\mathbb K</math>-sous-espacesubespai vectorial de ''E'' [[si i només si]]:

En d'autres termes, ''F'' est un sous-espacesubespai vectoriel de ''E'' si et seulement s'il n'est pas vide et est stable par [[combinaison linéaire|combinaisons linéaires]].

En Altres Paraules ''F'' és un sous-espacesubespai vectorial de ''E'' si i només si no és buit i és estable per [[combinació lineal|combinacions lineals]].

'''Nota''' : dans tout espace vectoriel ''E'' non réduit à <math>\ \{0\}</math>, il y a au moins deux sous-espacessubespai vectoriels. Ce sont <math>\ \{0\}</math> et ''E'' lui-même : on les appelle les deux ''sous-espacessubespai vectoriels triviaux''.

'''Va anotar''': en tot espai vectorial ''E'' no reducte a <math>\ \{0\}</math>, hi ha almenys dos sous-espacessubespai vectorials. És <math>\ \{0\}</math> i ''E'' ell mateix: se'ls diu els dos ''sous-espacessubespai vectorials trivials'' .

'''Remarque 1''' : un sous-espacesubespai vectoriel ''F'' de ''E'' contient nécessairement le vecteur nul <math>\ 0_E</math> de ''E'' (en effet, comme ''F'' est non vide, il existe au moins un élément <math>\ u_0</math> de ''F'' ; alors, pour tout <math>\ \lambda</math> dans <math>\ \mathbb{K}</math>, <math>\lambda u_0</math> appartient à ''F'' ; le choix <math>\ \lambda = 0</math> donne <math>0_E = 0 \cdot u_0 \in F</math>).

'''Observació 1''': un sous-espacesubespai vectorial ''F'' de ''E'' conté necessàriament el vector cap <math>\ 0_E</math> de ''E'' (en efecte, com ''F'' és no buit, existeix almenys un element <math>\ u_0</math> de ''F''; llavors, per a tot <math>\ \lambda</math> en <math>\ \mathbb{K}</math>, <math>\lambda u_0</math> pertany a ''F''; la tria <math>\ \lambda = 0</math> dóna <math>0_E = 0 \cdot u_0 \in F</math>).

C'est pourquoi, lorsqu'il s'agit de montrer qu'un sous-ensemble ''F'' de ''E'' est un sous-espacesubespai vectoriel de ''E'', on vérifie souvent que ''F'' ne soit pas vide en s'assurant qu'il contient le vecteur nul (s'il ne le contient pas, il y a immédiatement contradiction).

És per què, quan es tracta d'ensenyar que una subclasse ''F'' de ''E'' és un sous-espacesubespai vectorial de ''E'', es verifica sovint que ''F'' no sigui buit assegurant-se que conté el vector cap (si no el conté, hi ha immediatament contradicció).

Soient <math> F_1\quad</math> et <math> F_2\quad</math> deux sous-espacessubespai vectoriels de ''E''. Alors :

Siguin <math> F_1\quad</math> i <math> F_2\quad</math> dos sous-espacessubespai vectorials de ''E'' . Llavors:

*<math> F_1 \cap F_2</math> est un sous-espacesubespai vectoriel de ''E'' .

* <Math> F_1 \cap F_2</math> és un sous-espacesubespai vectorial de ''E'' .

Plus généralement, toute intersection de sous-espacessubespai vectoriels est un sous-espacesubespai vectoriel, c'est-à-dire que :

Més generalment, tota intersecció de sous-espacessubespai vectorials és un sous-espacesubespai vectorial, és a dir que:

pour toute famille <math> (F_i)_{i\in I} </math> de sous-espacessubespai vectoriels de <math> E </math>, <math> \cap_{i\in I}F_i </math> est un sous-espacesubespai vectoriel de <math> E </math>.

per a tota família <math> (F_i)_{i\in I} </math> de sous-espacessubespai vectorials de <math> E </math>, <math> \cap_{i\in I}F_i </math> és un sous-espacesubespai vectorial de <math> E </math>.

* ''E'' és aquí de dimensió finita, i el seu cos associat és de cardinal infinit. Si <math> (F_i)</math> ésest unaune família finitafamille de sous-espacessubespai vectorialsvectoriels de ''E'' itelle totsque diferentsl'union de ''E'',deux éléments de cette famille llavorssoit toujours incluse dans un troisième élément de la uniófamille, alors l'union de la famíliafamille <math> (F_i)</math> ésest diferentun subespai vectoriel de ''E'' .

;'' E'' est ici de dimension finie et son corps associé est de cardinal infini. Si <math>(F_i)</math> est une famille finie de sous-espacessubespai vectoriels de ''E'' et tous différents de ''E'', alors l'union de la famille <math> (F_i)</math> est différente de E.

;''E'' és aquí de dimensió finita i el seu cos associat és de cardinal infinit. Si <math>(F_i)</math> és una família finita de sous-espacessubespai vectorials de ''E'' i tots diferents de ''E'', llavors la unió de la família <math> (F_i)</math> és diferent d'E.

:Cette fonction est [[fonction polynôme|polynomiale]], en autant de variables que la dimension de ''E'', en les coordonnées de ''x'' si ''x'' est exprimé dans une base de ''E''. Comme l'anneau des polynômes à plusieurs variables sur un corps est intègre, et que <math>\phi</math> est le produit de polynômes non nuls, <math>\phi</math> est non nulle. Il existe donc un vecteur de ''E'' ayant une image non nulle par <math>\phi</math>, ce vecteur n'est dans aucun sous-espacesubespai vectoriel de la famille.

: Aquesta funció és [[polynomiale]], en tantes variables com la dimensió de ''E'', en les coordenades de ''x'' si ''x'' és expressat en una base de ''E'' . Com l'anell dels polinomis a diverses variables sobre un cos és íntegre, i <math>\phi</math> és el producte de polinomis no nuls, <math>\phi</math> és no nul. Existeix per tant un vector de ''E'' tenint una imatge no nul per <math>\phi</math>, aquest vector no és en cap sous-espacesubespai vectorial de la família.

;Si <math> (F_i)</math> est une famille de sous-espacessubespai vectoriels telle que l'union de deux éléments de cette famille soit toujours incluse dans un troisième élément de la famille, alors l'union est un sous-espacesubespai vectoriel.

;Si <math> (F_i)</math> és una família de sous-espacessubespai vectorials tal que la unió de dos elements d'aquesta família sempre sigui inclosa en un tercer element de la família, llavors la unió és un sous-espacesubespai vectorial.

:L'union est non vide. Il est clair qu'elle est stable pour le produit externe, car cette propriété s'applique à toute union de sous-espacessubespai vectoriels. Elle est aussi stable par addition car l'union de deux éléments de cette famille est toujours incluse dans un troisième élément de cette famille. Le résultat est ainsi démontré.

: La unió és no buida. És clar que és estable per al producte extern, ja que aquesta propietat s'aplica a tota unió de sous-espacessubespai vectorials. És tan estable per addició ja que la unió de dos elements d'aquesta família sempre és inclosa en un tercer element d'aquesta família. El resultat és així demostrat.

Soient <math> F_1\quad </math> et <math> F_2\quad</math> deux sous-espacessubespai vectoriels de ''E''. On définit le sous-ensemble suivant de ''E'' :

Siguin <math> F_1\quad </math> i <math> F_2\quad</math> dos sous-espacessubespai vectorials de ''E'' . Es defineix la subclasse següent de ''E'':

*<math> F_1 + F_2\quad </math> est un sous-espacesubespai vectoriel de ''E'' contenant à la fois <math> F_1 \quad</math> et <math> F_2\quad </math>. On l'appelle '''somme''' de <math> F_1\quad </math> et <math> F_2\quad</math>.

:C'est* pourquoi on dit que <math> F_1 + F_2\quad </math> estSi ''F''le plusés petitun sous-espacesubespai vectoriel'''vectorial de ''E'' contenantcontenint a la vegada <math> F_1 \cupquad</math> i <math> F_2\quad </math>., Celallavors équivaut<math> àF_1 :+ F_2 \subset F </math>.

Soient <math> F_1, F_2, \dots, F_m </math> ''m'' sous-espacessubespai vectoriels de ''E''. On définit le sous-ensemble suivant de ''E'' :

Siguin <math> F_1, F_2, \dots, F_m </math> ''m'' sous-espacessubespai vectorials de ''E'' . Es defineix la subclasse següent de ''E'':

:C'est l'ensemble des vecteurs de ''E'' qui admettent au moins une décomposition en somme de vecteurs appartenant respectivement aux sous-espacessubespai vectoriels <math> F_1, F_2, \dots, F_m </math> (si cette décomposition est de plus unique, la somme des sous-espacessubespai est dite [[somme directe|directe]]).

: És el conjunt dels vectors de ''E'' que admeten almenys una descomposició en suma de vectors pertanyent respectivament als sous-espacessubespai vectorials <math> F_1, F_2, \dots, F_m </math> (si aquesta descomposició és de més única, la suma dels sous-espacessubespai és anomenada [[directa)]].

*<math> \sum_{i = 1}^m F_i </math> est un sous-espacesubespai vectoriel de ''E'' contenant à la fois <math> F_1, F_2, \dots, F_m </math>. On l'appelle '''somme''' de ces sous-espacessubespai .

* <Math> \sum_{i = 1}^m F_i </math> és un sous-espacesubespai vectorial de ''E'' contenint a la vegada <math> F_1, F_2, \dots, F_m </math>. Se'l crida '''ordena''' d'aquests sous-espacessubespai .

* Si ''F'' est un sous-espacesubespai vectoriel de ''E'' contenant à la fois <math> F_1, F_2, \dots, F_m </math>, alors <math> \sum_{i = 1}^m F_i \subset F </math>.

* Si ''F'' és un sous-espacesubespai vectorial de ''E'' contenint a la vegada <math> F_1, F_2, \dots, F_m </math>, llavors <math> \sum_{i = 1}^m F_i \subset F </math>.

:On dit de même que <math> \sum_{i = 1}^m F_i </math> est le plus petit sous-espacesubespai vectoriel de ''E'' contenant <math> F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_m</math>.

: Es diu igual com <math> \sum_{i = 1}^m F_i </math> és el més petit sous-espacesubespai vectorial de ''E'' contenint <math> F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_m</math>.

* L'ensemble <math>\mbox{Vect}(A) </math> est un sous-espacesubespai vectoriel de ''E'', et il contient ''A''.

* El conjunt <math>\mbox{Vect}(A) </math> és un sous-espacesubespai vectorial de ''E'', i conté ''Té'' .

* Si ''F'' est un sous-espacesubespai vectoriel de ''E'' contenant ''A'', alors <math>\mbox{Vect}(A) \subset F</math>.

* Si ''F'' és un sous-espacesubespai vectorial de ''E'' contenint ''Té'', llavors <math>\mbox{Vect}(A) \subset F</math>.

: C'est pourquoi on dit que <math>\mbox{Vect}(A) </math> est '''le plus petit sous-espacesubespai vectoriel''' de ''E'' contenant ''A''.

: És per què s'anomena que <math>\mbox{Vect}(A) </math> és '''el més petit sous-espacesubespai vectorial''' de ''E'' contenint ''Té'' .

:On l'appelle '''sous-espacesubespai vectoriel''' de ''E'' '''engendré par''' ''A''.

: Se'l crida '''sous-espacesubespai vectorial''' de ''E'' '''engendrat per''' ''Té'' .

* Le sous-espacesubespai vectoriel engendré par ''A'' est l'intersection de tous les sous-espacessubespai vectoriels de ''E'' contenant ''A''.

* El sous-espacesubespai vectorial engendrat per ''Té'' és la intersecció de tots els sous-espacessubespai vectorials de ''E'' contenint ''Té'' .

: On dit alors que <math>\varphi </math> est une fermeture. Les sous-espacessubespai vectoriels de ''E'' sont les points fixes de <math>\varphi </math> :

: Es diu llavors que <math>\varphi </math> és un tancament. Els sous-espacessubespai vectorials de ''E'' són els punts fixos de <math>\varphi </math>:

*Pour qu'une partie ''A'' de ''E'' soit un sous-espacesubespai vectoriel de ''E'', il faut et il suffit que <math> \mbox{Vect}(A) = A</math>.

* Perquè una part ''Té'' de ''E'' sigui un sous-espacesubespai vectorial de ''E'', cal i amb ell n'hi ha prou que <math> \mbox{Vect}(A) = A</math>.

Soit '''K''' un [[corps fini]] de cardinal ''q'', et soit ''E'' un '''K'''-espace vectoriel de dimension finie ''n'' sur ''K''. Alors l'ensemble ''E'' est fini de cardinal ''q''^''n''. Il possède un nombre fini de sous-espacessubespai vectoriels. Le nombre de sous-espacessubespai de dimension ''k'' vaut

Sigui '''K''' un [[cos finit]] de cardinal ''q'', i sigui ''E'' un '''K'''-espace vectorial de dimensió finita ''no'' sobre ''K'' . Llavors el conjunt ''E'' és acabat de cardinal ''q'' ^''no''. Posseeix un nombre finit de sous-espacessubespai vectorials. El nombre de sous-espacessubespai de dimensió ''k'' val

Si <math>\mathcal L</math> est une famille libre de ''E'', alors <math>(\mathcal L, v)</math> est libre ssi ''v'' n'appartient pas au sous-espacesubespai vectoriel ''F'' engendré par <math>\mathcal L</math>. Si ''k'' est le nombre de vecteurs de <math>\mathcal L</math>, la dimension de ''F'' est ''q''^''k''. Par récurrence, le nombre de famille libre à ''k'' vecteurs de ''E'' est :

Si <math>\mathcal L</math> és una família lliure de ''E'', llavors <math>(\mathcal L, v)</math> és lliure ssi ''v'' no pertany al sous-espacesubespai vectorial ''F'' engendrat per <math>\mathcal L</math>. Si ''k'' és el nombre de vectors de <math>\mathcal L</math>, la dimensió de ''F'' és ''q'' ^''k''. Per recurrència, l'enumera de família lliure a ''k'' vectors de ''E'' és:

[[fr:Soussous-espace vectoriel]]