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{{ Voir homonymes .3. Somme}} ..
En ALGÈBRE , le terme de ((((( somme directe ))))) s’applique à plusieurs situations différentes ..
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(==) Somme directe de SOUS-ESPACES VECTORIELS (==) ..
(===) Somme directe de deux sous-espaces vectoriels (===) ..
(( Article détaillé: SOUS-ESPACES SUPPLÉMENTAIRES )) ..
..
Soient <math>F_1</math> et <math>F_2</math> deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel (( E )) . On dit que <math>F_1</math> et <math>F_2</math> sont en somme directe si et seulement si pour tout élément (( u )) de <math>F_1 + F_2</math> , il existe un ((((( unique ))))) couple <math>\ (u_1 ; u_2)</math> de <math>F_1 \times F_2</math> tel que <math>u = u_1 + u_2</math>. ..
..
On dit aussi dans ce cas que la somme <math>F_1 + F_2</math> est directe. ..
..
En d'autres termes , la somme de deux sous-espaces vectoriels <math>F_1</math> et <math>F_2</math> est directe si la décomposition de tout élément de <math>F_1 + F_2</math> en somme d'un élément de <math>F_1</math> et d'un élément de <math>F_2</math> est unique. ..
..
La somme sera alors notée : <math>F_1 \oplus F_2</math>. ..
..
On dispose des caractérisations usuelles suivantes : ..
* <math>F_1</math> et <math>F_2</math> sont en somme directe si et seulement si , pour tout <math>u_1</math> de <math>F_1</math> et <math>u_2</math> de <math>F_2</math> , ..
: <math>u_1 + u_2 = 0 \Leftrightarrow u_1 = u_2 = 0</math> ..
* <math>F_1</math> et <math>F_2</math> sont en somme directe si et seulement si ..
: <math>F_1 \cap F_2 = \{0\}</math> ..
..
((((( Cas de la dimension finie ))))) : lorsque <math>F_1</math> et <math>F_2</math> sont de dimensions finies , les assertions suivantes sont équivalentes : ..
# La somme <math>F_1 + F_2</math> est directe. ..
# <math>\dim F_1 + \dim F_2 = \dim(F_1 + F_2)</math>. ..
# En juxtaposant ("réunissant") une base de <math>F_1</math> et une base de <math>F_2</math> , on constitue une base de <math>F_1 + F_2</math>. ..
..
((((( Sous-espaces supplémentaires ))))) : deux sous-espaces <math>F_1</math> et <math>F_2</math> de (( E )) sont dits SUPPLÉMENTAIRES lorsque <math>E = F_1 \oplus F_2</math>. Cela signifie que pour tout élément (( u )) de (( E )) , il existe un unique couple <math>\ (u_1 ; u_2)</math> de <math>F_1 \times F_2</math> tel que <math>\ u = u_1 + u_2</math>. ..
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(===) Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels (===) ..
On peut généraliser la notion de somme directe à une famille finie de sous-espaces vectoriels de (( E )) . ..
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On dit qu'une famille <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> de sous-espaces vectoriels de (( E )) est en somme directe si et seulement si , pour tout élément (( u )) de la somme <math>F = \sum_{i=1}^k F_i</math> , il existe un (( k )) -uplet ((((( unique ))))) <math>(u_1 ;u_2 ; \cdots ;u_k)</math> de <math>F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k</math> tel que <math>u = \sum_{i=1}^k u_i</math>. ..
..
On dit aussi dans ce cas que la somme (( F )) des sous-espaces <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> est directe. ..
..
En d'autres termes , la somme est directe si la décomposition de tout élément de <math>F = \sum_{i=1}^k F_i</math> en somme d'éléments des <math>F_i\ ,</math> est unique. ..
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Pour désigner une somme directe , on se sert des notations <math>F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_k</math> ou <math>\bigoplus_{i = 1} ^kF_i</math>. ..
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Comme dans le cas de 2 sous-espaces vectoriels , on peut caractériser les sommes directes par l'unicité de la décomposition du vecteur nul : ..
: La somme <math>F = \sum_{i=1}^k F_i</math> est directe si et seulement si : ..
: l'unique (( k )) -uplet <math>(u_1 ;u_2 ; \cdots ;u_k)</math> de <math>F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k</math> tel que <math>\sum_{i=1}^k u_i = 0</math> est celui dont tous les éléments sont nuls. ..
..
..
((((( Remarque ))))) : dès que la famille comprend au moins 3 sous-espaces , il ne suffit pas pour que la somme soit directe que leurs intersections deux à deux soient réduites à <math>\ \{0\}</math> , c'est-à-dire que : ..
: <math>F_i \cap F_j = \{0\}</math> pour tout (( i )) et pour tout (( j )) , (( i )) différent de (( j )) . ..
..
On s’en convaincra en regardant dans <math>\R^2</math> les sous-espaces vectoriels : ..
: <math>F_1=\{(x ; 0) , x \in \R\}</math> ..
: <math>F_2=\{(y ; y) , y \in \R\}</math> ..
: <math>F_3=\{(0 ; t) , t \in \R\}</math>. ..
Leurs intersections deux à deux sont réduites à {(0 ; 0)} , mais leur somme <math>\ F = F_ 1 + F_2 + F_3</math> (égale à <math>\ \R^2</math>) n'est pas directe. ..
..
En effet , les 3 vecteurs <math>u_1=(1 ; 0) ,\ , u_2=(-1 ; -1) ,\ , u_3=(0 ; 1)</math> appartiennent respectivement à <math>F_1 ,\ , F_2 ,\ , F_3</math> ; ils sont non nuls , et tels que <math>\ u_1 + u_2 + u_3= (0 ; 0)</math>: la décomposition du vecteur nul n'est pas unique. ..
..
En revanche , on montre que les sous-espaces de la famille des <math>\ (F_{i})_{1\geq i\geq n}</math> sont en somme directe dans <math>\ E</math> si et seulement si : ..
* <math>\ \sum_{i=1}^n F_i = E </math> ..
* <math>\ \forall k \in \left\{ 1 ,... ,n-1\right\} , \ \left(\sum_{i=1}^{k}F_{i}\right)\cap F_{k+1}=\left\{0_{E}\right\}</math> ..
..
Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies , on a encore l'équivalence des assertions suivantes : ..
# Les <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> sont en somme directe. ..
# <math>\sum_{i=1}^k \dim F_i = \dim\left(\sum_{i=1}^k F_i\right)</math>. ..
# En juxtaposant une base <math>\ \mathcal{B}_1</math> de <math>\ F_1</math> , ... , une base <math>\ \mathcal{B}_k</math> de <math>\ F_k</math> , on constitue une base de la somme. ..
..
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((((( Exemple ))))) : soient (( E )) un espace vectoriel sur (( K )) de dimension finie , et (( f )) un endomorphisme de (( E )) ayant exactement (( p )) VALEURS PROPRES (distinctes) appelées <math> \lambda_1 ,\ , \dots ,\ , \lambda_p</math>. On désigne par <math>\ \mathrm{Id}</math> l'endomorphisme identique de (( E )) . ..
..
Pour tout entier (( i )) tel que 1 ≤ (( i )) ≤ p , <math> E_i = \mathrm{ker}(f - \lambda_i\ , \mathrm{Id})</math> est le SOUS-ESPACE PROPRE de (( f )) associé à la valeur propre <math>\ \lambda_i</math>.<br /> ..
Les deux propriétés suivantes sont classiques : ..
* La somme <math>\sum_{i=1}^p E_i</math> est directe. ..
* <math>\bigoplus_{i = 1}^p E_i = E</math>si et seulement si (( f )) est DIAGONALISABLE. ..
: Lorsque c'est le cas , on constitue une base <math>\ \mathcal{B}</math> de (( E )) diagonalisant (( f )) en juxtaposant une base <math>\ \mathcal{B}_1</math> de <math>\ E_1</math> , ... , une base <math>\ \mathcal{B}_p</math> de <math>\ E_p</math>. ..
..
(====) Somme directe orthogonale (====) ..
On désigne ici par (( E )) un espace préhilbertien réel ou complexe (espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire). Soit une famille <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> de sous-espaces vectoriels de (( E )) . S'ils sont deux à deux orthogonaux , leur somme est directe. Elle est alors appelée ((((( somme directe orthogonale ))))). ..
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Un exemple très simple est l'espace <math>F^\perp</math> constitué des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs d'un sous-espace vectoriel (( F )) : il est en somme directe avec (( F )) . L'égalité <math>E = F^\perp + F</math> n'est pas toujours vérifiée lorsque la dimension est infinie. Par contre , elle l'est dès que <math>E</math> est de dimension finie. ..
..
Deux espaces qui sont à la fois supplémentaires et orthogonaux sont dits ((((( supplémentaires orthogonaux ))))). Un sous-espace vectoriel F de E , même s'il a des supplémentaires , n'en a pas nécessairement un qui lui soit orthogonal. Une condition suffisante est que l'espace F soit COMPLET (ce qui est réalisé EN PARTICULIER S'IL EST DE DIMENSION FINIE). Cette question est liée à la possibilité d'effectuer une PROJECTION ORTHOGONALE. ..
..
Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies , on a l'équivalence des assertions suivantes : ..
# Les <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> sont en somme directe orthogonale. ..
# En juxtaposant une base orthogonale <math>\ \mathcal{B}_1</math> de <math>\ F_1</math> , ... , une base orthogonale <math>\ \mathcal{B}_k</math> de <math>\ F_k</math> , on constitue une base orthogonale de la somme. ..
..
(==) Somme directe externe et produit cartésien (==) ..
Lorsque deux sous-espaces <math>F_1</math> , <math>F_2</math> d'un espace vectoriel (( E )) sont en somme directe , l'application suivante est bijective : ..
: <math>F_1 \times F_2 \to F_1 \oplus F_2 , (u_1 ; u_2) \mapsto u_1 + u_2</math> ..
..
Il existe dans ce cas une unique structure d'espace vectoriel sur le produit cartésien <math>F_1 \times F_2</math> telle que cette application soit un isomorphisme d'espaces vectoriels ; la loi interne et la loi externe sont définies respectivement par les relations : ..
: <math>\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2)</math> et <math>\alpha \ , (u_1 ; u_2) = (\alpha\ , u_1 ; \alpha\ , u_2)</math> , ..
: où <math>u_1</math> , <math>v_1</math> sont dans <math>F_1</math> , <math>u_2</math> , <math>v_2</math> sont dans <math>F_2</math> , et <math>\alpha</math> est dans <math>K</math>. ..
..
Ceci incite , si <math>E_1</math> et <math>E_2</math> sont deux espaces vectoriels quelconques sur le même corps <math>K</math> , à définir leur somme directe , dite alors (( externe )) . ..
..
(===) Somme directe externe de deux (( K )) -espaces vectoriels (===) ..
La ((((( somme directe externe ))))) de deux <math>K</math>-espaces vectoriels <math>E_1</math> et <math>E_2</math> est le produit cartésien <math>E_1 \times E_2</math> sur lequel on définit ..
* une addition : ..
: <math>\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2)</math> ..
* une multiplication externe par les éléments de <math>K</math> : ..
: <math>\alpha \ , (u_1 ; u_2) = (\alpha\ , u_1 ; \alpha\ , u_2)</math> (où <math>\alpha \in K</math>) ..
..
Muni de ces deux lois de composition , l'ensemble <math>E_1 \times E_2</math> est un espace vectoriel sur <math>K</math>. ..
..
Dès lors , <math>\tilde{E_1} = E_1 \times \{0\}</math> et <math>\tilde{E_2} = \{0\} \times E_2</math> sont deux sous-espaces de <math>E_1 \times E_2</math> , respectivement isomorphes à <math>E_1</math> et <math>E_2</math> (on a "plongé" <math>E_1</math> , <math>E_2</math> dans le produit cartésien) ; ..
la relation <math>E_1 \times E_2 = \tilde{E_1} \oplus \tilde{E_2}</math> justifie l'appellation de (( somme directe externe )) . ..
..
..
Lorsque <math>E_1</math> et <math>E_2</math> sont de dimensions finies , il en est de même de leur somme directe externe , et : ..
: <math>\dim(E_1 \times E_2) = \dim E_1 + \dim E_2</math> ..
: (car <math>E_1 \times E_2</math> est somme directe des deux sous-espaces <math>\tilde{E_1}</math> et <math>\tilde{E_2}</math> , qui ont même dimension que <math>\ E_1</math> , <math>\ E_2</math> respectivement). ..
(===) Somme directe externe de plusieurs (( K )) -espaces vectoriels (===) ..
On définit de même la somme directe externe <math>\ E_1 \times \cdots \times E_k</math> de (( k )) espaces vectoriels <math>E_1 , \dots , E_k</math> sur le même corps <math>K</math>. ..
..
..
Lorsque <math>E_1 , \dots , E_k</math> sont de dimensions finies , il en est de même de leur somme directe externe , et : ..
: <math>\dim(E_1 \times \cdots \times E_k) = \dim E_1 + \cdots + \dim E_k</math>. ..
..
(===) Somme directe externe d'une famille infinie de (( K )) -espaces vectoriels (===) ..
Pour un nombre fini d'espace vectoriels la somme directe externe et le PRODUIT DIRECT coïncident. Il n'en est pas de même lorsque la famille est infinie. ..
..
En effet , soit <math>(E_i)_{i\in I}</math> une famille (éventuellement infinie) de (( K )) -espaces vectoriels. La somme directe externe <math>\oplus_{i\in I} E_i</math> est le sous-espace vectoriel du PRODUIT DIRECT <math>\prod_{i\in I} E_i</math> constitué des FAMILLES À SUPPORT FINI. La propriété universelle ci-dessous est la raison de ce choix. ..
..
On peut , avec cette notion , élégamment définir la somme directe d'une famille infinie de sous-espaces : Une famille de sous-espace de (( E )) est en somme directe si et seulement si le morphisme somme qui va de la somme directe externe de ces sous-espaces dans (( E )) qui à une famille de vecteurs associe leur somme est injectif. ..
..
(====) Remarque à propos d'autres STRUCTURES ALGÉBRIQUES (====) ..
On définit de manière analogue la somme directe externe d'un nombre fini de GROUPES additifs , ou d'ANNEAUX , ou de (( A )) -MODULES sur le même anneau (( A )) . ..
..
Par exemple , si <math>A_1</math> et <math>A_2</math> sont deux anneaux , on définit sur <math>A_1 \times A_2</math> deux lois de composition interne : ..
* une addition : ..
: <math>\ (a_1 ; a_2) + (b_1 ; b_2) = (a_1 + b_1 ; a_2 + b_2)</math> ..
* une multiplication : ..
: <math>\ (a_1 ; a_2) \cdot (b_1 ; b_2) = (a_1 b_1 ; a_2 b_2)</math> ..
..
Muni de ces deux lois de composition , l'ensemble <math>A_1 \times A_2</math> est un anneau. Même si <math>A_1</math> et <math>A_2</math> sont INTÈGRES , leur produit cartésien ne l'est pas : <math>a_1</math> , <math>a_2</math> étant deux éléments non nuls de <math>A_1</math> , <math>A_2</math> respectivement , on a : <math>\ (a_1 ; 0) \cdot (0 ; a_2) = (0 ; 0)</math>. ..
..
(==) Propriété universelle de la somme directe (==) ..
Soit <math>A</math> un anneau ; ..
soit <math>(M_i)_{i\in I}</math> une famille de A-modules , <math>N</math> un A-module ; ..
soit <math>(f_i : M_i\longrightarrow N)_{i\in I} </math> une famille d'applications linéaires. ..
..
Alors il existe une unique application <math>\phi : \bigoplus_{i\in I}^{ext} M_i\longrightarrow N</math> A-linéaire telle que : ..
<math>\forall i\in I</math> , <math>\phi \circ q_i = f_i</math> avec <math> \begin{matrix}q_i : & M_i & \longrightarrow & \prod_{k\in I} M_k\\ & x_i & \mapsto & (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix} </math> l'injection canonique. ..
..
{{ boîte déroulante .3. align=left .3. titre=Démonstrations .3. contenu= ..
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Par analyse synthèse : ..
..
* Supposons qu'un tel <math>\phi</math> existe. Soit <math>(x_i)_{i\in I}\in \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i</math> ; on a : ..
<math> \begin{matrix}q_i : & X_i & \longrightarrow & \bigoplus_{k\in I}^{ext} X_k\\ & x_i & \mapsto & (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix} </math> avec <math>\delta_{ik}</math> symbole de Kronecker ; on a : <math>\phi \circ q_i (x_i) = \phi(0 ,... ,0 ,x_i ,0 ,... ,0) = f_i(x_i)</math> et , pour <math>(n ,m)\in I^2</math> , ..
<math>\phi((x_n+x_m) = \phi((x_n ,0)+(0 ,x_m)) = f_n(x_n)+f_m(x_m)</math> par A-linéarité , donc <math>\phi((x_i)_{i\in I}) = \phi(\sum_{k\in I} x_k\delta_{ik}) = \sum_{i\in I} f_i(x_i)</math> ce qui assure l'unicité de <math>\phi</math> ..
..
* Posons donc <math> \begin{matrix}\phi : & \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i & \longrightarrow & Y\\ & (x_i)_{i\in I} & \mapsto & \sum_{i\in I} f_i(x_i)\\\end{matrix} </math> ; les <math>f_i</math> étant linéaires , <math>\phi</math> est linéaire. ..
..
Soit <math>x_i\in X_i</math> , on a : <math>\phi \circ q_i (x_i) = \phi (0 ,... ,0 ,x_i ,0 ,... ,0) = \sum_{k\in I} f_k(x_k) = f_i(x_i)</math> ; ainsi nous avons bien <math>\phi \circ q_i = f_i</math> , donc <math>\phi</math> existe bien. ..
}} ..
..
(==) Voir aussi (==) ..
* ESPACE VECTORIEL ..
* SOMME (CATÉGORIE) ..
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{{ Opérations binaires}} ..
{{ Algèbre linéaire}} ..
{{ Portail mathématiques}} ..
..
[[Catégorie:Espace vectoriel]] ..
[[Catégorie:Opération]] ..
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[[de:Direkte Summe]] ..
[[en:Direct sum of modules]] ..
[[es:Suma directa]] ..
[[fi:Suora summa]] ..
[[he:סכום ישר]] ..
[[it:Somma diretta]] ..
[[ja:直和]] ..
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paraulesenllacos ..
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SOUS-ESPACES VECTORIELS ..
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SOUS-ESPACE PROPRE ..
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DIAGONALISABLE ..
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COMPLET ..
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EN PARTICULIER S'IL EST DE DIMENSION FINIE ..
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PROJECTION ORTHOGONALE ..
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PRODUIT DIRECT ..
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MODULES ..
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INTÈGRES ..
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ESPACE VECTORIEL ..
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SOMME (CATÉGORIE) ..
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