Suma directa: diferència entre les revisions

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{{Traducció|fr|Somme directe}}
{{ Voir homonymes .3. Somme}} ..
{{Voir homonymes|Somme}}
En ALGÈBRE , le terme de ((((( somme directe ))))) s’applique à plusieurs situations différentes ..
 
..
{{Voir homonymes|Somme}}
(==) Somme directe de SOUS-ESPACES VECTORIELS (==) ..
En [[algèbre]], le terme de '''somme directe''' s’applique à plusieurs situations différentes
(===) Somme directe de deux sous-espaces vectoriels (===) ..
 
(( Article détaillé: SOUS-ESPACES SUPPLÉMENTAIRES )) ..
En [[àlgebra]], el terme de '''suma directa''' s'és aplicat a diverses situacions diferents
..
 
Soient <math>F_1</math> et <math>F_2</math> deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel (( E )) . On dit que <math>F_1</math> et <math>F_2</math> sont en somme directe si et seulement si pour tout élément (( u )) de <math>F_1 + F_2</math> , il existe un ((((( unique ))))) couple <math>\ (u_1 ; u_2)</math> de <math>F_1 \times F_2</math> tel que <math>u = u_1 + u_2</math>. ..
 
..
 
On dit aussi dans ce cas que la somme <math>F_1 + F_2</math> est directe. ..
== Somme directe de [[espace vectoriel|sous-espaces vectoriels]] ==
..
 
En d'autres termes , la somme de deux sous-espaces vectoriels <math>F_1</math> et <math>F_2</math> est directe si la décomposition de tout élément de <math>F_1 + F_2</math> en somme d'un élément de <math>F_1</math> et d'un élément de <math>F_2</math> est unique. ..
== Suma directa de [[espai vectorial|sous-espaces vectorials]] ==
..
=== Somme directe de deux sous-espaces vectoriels ===
La somme sera alors notée : <math>F_1 \oplus F_2</math>. ..
 
..
=== Suma directa de dos sous-espaces vectorials ===
On dispose des caractérisations usuelles suivantes : ..
''Article détaillé: [[Sous-espaces supplémentaires]]''
* <math>F_1</math> et <math>F_2</math> sont en somme directe si et seulement si , pour tout <math>u_1</math> de <math>F_1</math> et <math>u_2</math> de <math>F_2</math> , ..
 
: <math>u_1 + u_2 = 0 \Leftrightarrow u_1 = u_2 = 0</math> ..
''Article detallat: [[Sous-espaces suplementaris]]''
* <math>F_1</math> et <math>F_2</math> sont en somme directe si et seulement si ..
 
: <math>F_1 \cap F_2 = \{0\}</math> ..
 
..
 
((((( Cas de la dimension finie ))))) : lorsque <math>F_1</math> et <math>F_2</math> sont de dimensions finies , les assertions suivantes sont équivalentes : ..
Soient <math>F_1</math> et <math>F_2</math> deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel ''E''. On dit que <math>F_1</math> et <math>F_2</math> sont en somme directe si et seulement si pour tout élément ''u'' de <math>F_1 + F_2</math>, il existe un '''unique''' couple <math>\ (u_1 ; u_2)</math> de <math>F_1 \times F_2</math> tel que <math>u = u_1 + u_2</math>.
# La somme <math>F_1 + F_2</math> est directe. ..
 
# <math>\dim F_1 + \dim F_2 = \dim(F_1 + F_2)</math>. ..
#Siguin En<math>F_1</math> juxtaposanti ("réunissant")<math>F_2</math> unedos basesous-espaces vectorials de l'espai vectorial ''E'' . Es diu que <math>F_1</math> eti une<math>F_2</math> basesón en suma directa si i només si per a tot element ''u'' de <math>F_1 + F_2</math> , onexisteix constitueun une'''únic''' baseparella <math>\ (u_1; u_2)</math> de <math>F_1 +\times F_2</math>. .tal com <math>u = u_1 + u_2</math>.
 
..
 
((((( Sous-espaces supplémentaires ))))) : deux sous-espaces <math>F_1</math> et <math>F_2</math> de (( E )) sont dits SUPPLÉMENTAIRES lorsque <math>E = F_1 \oplus F_2</math>. Cela signifie que pour tout élément (( u )) de (( E )) , il existe un unique couple <math>\ (u_1 ; u_2)</math> de <math>F_1 \times F_2</math> tel que <math>\ u = u_1 + u_2</math>. ..
 
..
On dit aussi dans ce cas que la somme <math>F_1 + F_2</math> est directe.
(===) Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels (===) ..
 
On peut généraliser la notion de somme directe à une famille finie de sous-espaces vectoriels de (( E )) . ..
Es diu tan en aquest cas que la suma <math>F_1 + F_2</math> és directa.
..
 
On dit qu'une famille <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> de sous-espaces vectoriels de (( E )) est en somme directe si et seulement si , pour tout élément (( u )) de la somme <math>F = \sum_{i=1}^k F_i</math> , il existe un (( k )) -uplet ((((( unique ))))) <math>(u_1 ;u_2 ; \cdots ;u_k)</math> de <math>F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k</math> tel que <math>u = \sum_{i=1}^k u_i</math>. ..
 
..
 
On dit aussi dans ce cas que la somme (( F )) des sous-espaces <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> est directe. ..
En d'autres termes, la somme de deux sous-espaces vectoriels <math>F_1</math> et <math>F_2</math> est directe si la décomposition de tout élément de <math>F_1 + F_2</math> en somme d'un élément de <math>F_1</math> et d'un élément de <math>F_2</math> est unique.
..
 
En d'autres termes , la somme est directe si la décomposition de tout élément de <math>F = \sum_{i=1}^k F_i</math> en somme d'éléments des <math>F_i\ ,</math> est unique. ..
En Altres Paraules, la suma de dos sous-espaces vectorials <math>F_1</math> i <math>F_2</math> és directa si la descomposició de tot element de <math>F_1 + F_2</math> en suma d'un element de <math>F_1</math> i d'un element de <math>F_2</math> és única.
..
 
Pour désigner une somme directe , on se sert des notations <math>F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_k</math> ou <math>\bigoplus_{i = 1} ^kF_i</math>. ..
 
..
 
..
La somme sera alors notée : <math>F_1 \oplus F_2</math>.
Comme dans le cas de 2 sous-espaces vectoriels , on peut caractériser les sommes directes par l'unicité de la décomposition du vecteur nul : ..
 
: La somme <math>F = \sum_{i=1}^k F_i</math> est directe si et seulement si : ..
La suma serà llavors anotada: <Math>F_1 \oplus F_2</math>.
: l'unique (( k )) -uplet <math>(u_1 ;u_2 ; \cdots ;u_k)</math> de <math>F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k</math> tel que <math>\sum_{i=1}^k u_i = 0</math> est celui dont tous les éléments sont nuls. ..
 
..
 
..
 
((((( Remarque ))))) : dès que la famille comprend au moins 3 sous-espaces , il ne suffit pas pour que la somme soit directe que leurs intersections deux à deux soient réduites à <math>\ \{0\}</math> , c'est-à-dire que : ..
On dispose des caractérisations usuelles suivantes :
: <math>F_i \cap F_j = \{0\}</math> pour tout (( i )) et pour tout (( j )) , (( i )) différent de (( j )) . ..
 
..
Es disposa de les caracteritzacions usuals següents:
On s’en convaincra en regardant dans <math>\R^2</math> les sous-espaces vectoriels : ..
* <math>F_1</math> et <math>F_2</math> sont en somme directe si et seulement si, pour tout <math>u_1</math> de <math>F_1</math> et <math>u_2</math> de <math>F_2</math>,
: <math>F_1=\{(x ; 0) , x \in \R\}</math> ..
 
: <math>F_2=\{(y ; y) , y \in \R\}</math> ..
* <Math>F_1</math> i <math>F_2</math> són en suma directa si i només si, per a tot <math>u_1</math> de <math>F_1</math> i <math>u_2</math> de <math>F_2</math>
: <math>F_3=\{(0 ; t) , t \in \R\}</math>. ..
:<math>u_1 + u_2 = 0 \Leftrightarrow u_1 = u_2 = 0</math>
Leurs intersections deux à deux sont réduites à {(0 ; 0)} , mais leur somme <math>\ F = F_ 1 + F_2 + F_3</math> (égale à <math>\ \R^2</math>) n'est pas directe. ..
* <math>F_1</math> et <math>F_2</math> sont en somme directe si et seulement si
..
 
En effet , les 3 vecteurs <math>u_1=(1 ; 0) ,\ , u_2=(-1 ; -1) ,\ , u_3=(0 ; 1)</math> appartiennent respectivement à <math>F_1 ,\ , F_2 ,\ , F_3</math> ; ils sont non nuls , et tels que <math>\ u_1 + u_2 + u_3= (0 ; 0)</math>: la décomposition du vecteur nul n'est pas unique. ..
* <Math>F_1</math> i <math>F_2</math> són en suma directa si i només si
..
:<math>F_1 \cap F_2 = \{0\}</math>
En revanche , on montre que les sous-espaces de la famille des <math>\ (F_{i})_{1\geq i\geq n}</math> sont en somme directe dans <math>\ E</math> si et seulement si : ..
 
* <math>\ \sum_{i=1}^n F_i = E </math> ..
 
* <math>\ \forall k \in \left\{ 1 ,... ,n-1\right\} , \ \left(\sum_{i=1}^{k}F_{i}\right)\cap F_{k+1}=\left\{0_{E}\right\}</math> ..
 
..
Lorsque'''Cas lesde sous-espacesla vectorielsdimension sontfinie''' de: dimensionslorsque finies<math>F_1</math> ,et on<math>F_2</math> asont encorede l'équivalencedimensions desfinies, les assertions suivantes :sont ..équivalentes :
 
# Les <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> sont en somme directe. ..
'''Cas de la dimensió finita''': quan <math>F_1</math> i <math>F_2</math> són de dimensions finites, les assercions següents són equivalents:
# <math>\sum_{i=1}^k \dim F_i = \dim\left(\sum_{i=1}^k F_i\right)</math>. ..
# La somme <math>F_1 + F_2</math> est directe.
# En juxtaposant une base <math>\ \mathcal{B}_1</math> de <math>\ F_1</math> , ... , une base <math>\ \mathcal{B}_k</math> de <math>\ F_k</math> , on constitue une base de la somme. ..
 
..
# La suma <math>F_1 + F_2</math> és directa.
..
# <math>\dim F_1 + \dim F_2 = \dim(F_1 + F_2)</math>.
((((( Exemple ))))) : soient (( E )) un espace vectoriel sur (( K )) de dimension finie , et (( f )) un endomorphisme de (( E )) ayant exactement (( p )) VALEURS PROPRES (distinctes) appelées <math> \lambda_1 ,\ , \dots ,\ , \lambda_p</math>. On désigne par <math>\ \mathrm{Id}</math> l'endomorphisme identique de (( E )) . ..
 
..
# <math>\dim F_1 + \dim F_2 = \dim(F_1 + F_2)</math>.
Pour tout entier (( i )) tel que 1 &#8804; (( i )) &#8804; p , <math> E_i = \mathrm{ker}(f - \lambda_i\ , \mathrm{Id})</math> est le SOUS-ESPACE PROPRE de (( f )) associé à la valeur propre <math>\ \lambda_i</math>.<br /> ..
# En juxtaposant ("réunissant") une base de <math>F_1</math> et une base de <math>F_2</math>, on constitue une base de <math>F_1 + F_2</math>.
Les deux propriétés suivantes sont classiques : ..
 
* La somme <math>\sum_{i=1}^p E_i</math> est directe. ..
# juxtaposant ("reunint") una base de <math>F_1</math> i una base de <math>F_2</math>, es constitueix una base de <math>F_1 + F_2</math>.
* <math>\bigoplus_{i = 1}^p E_i = E</math>si et seulement si (( f )) est DIAGONALISABLE. ..
 
: Lorsque c'est le cas , on constitue une base <math>\ \mathcal{B}</math> de (( E )) diagonalisant (( f )) en juxtaposant une base <math>\ \mathcal{B}_1</math> de <math>\ E_1</math> , ... , une base <math>\ \mathcal{B}_p</math> de <math>\ E_p</math>. ..
 
..
 
(====) Somme directe orthogonale (====) ..
'''Sous-espaces supplémentaires''' : deux sous-espaces <math>F_1</math> et <math>F_2</math> de ''E'' sont dits [[Sous-espaces supplémentaires|supplémentaires]] lorsque <math>E = F_1 \oplus F_2</math>. Cela signifie que pour tout élément ''u'' de ''E'', il existe un unique couple <math>\ (u_1 ; u_2)</math> de <math>F_1 \times F_2</math> tel que <math>\ u = u_1 + u_2</math>.
On désigne ici par (( E )) un espace préhilbertien réel ou complexe (espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire). Soit une famille <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> de sous-espaces vectoriels de (( E )) . S'ils sont deux à deux orthogonaux , leur somme est directe. Elle est alors appelée ((((( somme directe orthogonale ))))). ..
 
..
'''Sous-espaces suplementaris''': dos sous-espaces <math>F_1</math> i <math>F_2</math> de ''E'' són anomenats [[suplementaris]] quan <math>E = F_1 \oplus F_2</math>. Allò significa que per a tot element ''u'' de ''E'', existeix una única parella <math>\ (u_1; u_2)</math> de <math>F_1 \times F_2</math> tal com <math>\ u = u_1 + u_2</math>.
Un exemple très simple est l'espace <math>F^\perp</math> constitué des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs d'un sous-espace vectoriel (( F )) : il est en somme directe avec (( F )) . L'égalité <math>E = F^\perp + F</math> n'est pas toujours vérifiée lorsque la dimension est infinie. Par contre , elle l'est dès que <math>E</math> est de dimension finie. ..
 
..
 
Deux espaces qui sont à la fois supplémentaires et orthogonaux sont dits ((((( supplémentaires orthogonaux ))))). Un sous-espace vectoriel F de E , même s'il a des supplémentaires , n'en a pas nécessairement un qui lui soit orthogonal. Une condition suffisante est que l'espace F soit COMPLET (ce qui est réalisé EN PARTICULIER S'IL EST DE DIMENSION FINIE). Cette question est liée à la possibilité d'effectuer une PROJECTION ORTHOGONALE. ..
 
..
=== Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels ===
Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies , on a l'équivalence des assertions suivantes : ..
 
# Les <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> sont en somme directe orthogonale. ..
=== Suma directa de diversos sous-espaces vectorials ===
# En juxtaposant une base orthogonale <math>\ \mathcal{B}_1</math> de <math>\ F_1</math> , ... , une base orthogonale <math>\ \mathcal{B}_k</math> de <math>\ F_k</math> , on constitue une base orthogonale de la somme. ..
On peut généraliser la notion de somme directe à une famille finie de sous-espaces vectoriels de ''E''.
..
 
(==) Somme directe externe et produit cartésien (==) ..
Es pot generalitzar la noció de suma directa a una família finita de sous-espaces vectorials de ''E'' .
Lorsque deux sous-espaces <math>F_1</math> , <math>F_2</math> d'un espace vectoriel (( E )) sont en somme directe , l'application suivante est bijective : ..
 
: <math>F_1 \times F_2 \to F_1 \oplus F_2 , (u_1 ; u_2) \mapsto u_1 + u_2</math> ..
 
..
 
Il existe dans ce cas une unique structure d'espace vectoriel sur le produit cartésien <math>F_1 \times F_2</math> telle que cette application soit un isomorphisme d'espaces vectoriels ; la loi interne et la loi externe sont définies respectivement par les relations : ..
On dit qu'une famille <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> de sous-espaces vectoriels de ''E'' est en somme directe si et seulement si, pour tout élément ''u'' de la somme <math>F = \sum_{i=1}^k F_i</math>, il existe un ''k''-uplet '''unique''' <math>(u_1 ;u_2; \cdots ;u_k)</math> de <math>F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k</math> tel que <math>u = \sum_{i=1}^k u_i</math>.
: <math>\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2)</math> et <math>\alpha \ , (u_1 ; u_2) = (\alpha\ , u_1 ; \alpha\ , u_2)</math> , ..
 
: où <math>u_1</math> , <math>v_1</math> sont dans <math>F_1</math> , <math>u_2</math> , <math>v_2</math> sont dans <math>F_2</math> , et <math>\alpha</math> est dans <math>K</math>. ..
Es diu que una família <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> de sous-espaces vectorials de ''E'' és en suma directa si i només si, per a tot element ''u'' de la suma <math>F = \sum_{i=1}^k F_i</math>, existeix un ''k'' -uplet '''únic''' <math>(u_1;u_2; \cdots;u_k)</math> de <math>F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k</math> tal com <math>u = \sum_{i=1}^k u_i</math>.
..
 
Ceci incite , si <math>E_1</math> et <math>E_2</math> sont deux espaces vectoriels quelconques sur le même corps <math>K</math> , à définir leur somme directe , dite alors (( externe )) . ..
 
..
 
(===) Somme directe externe de deux (( K )) -espaces vectoriels (===) ..
On dit aussi dans ce cas que la somme ''F'' des sous-espaces <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> est directe.
La ((((( somme directe externe ))))) de deux <math>K</math>-espaces vectoriels <math>E_1</math> et <math>E_2</math> est le produit cartésien <math>E_1 \times E_2</math> sur lequel on définit ..
 
* une addition : ..
Es diu tan en aquest cas com la suma ''F'' dels sous-espaces <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> és directa.
: <math>\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2)</math> ..
 
* une multiplication externe par les éléments de <math>K</math> : ..
 
: <math>\alpha \ , (u_1 ; u_2) = (\alpha\ , u_1 ; \alpha\ , u_2)</math> (où <math>\alpha \in K</math>) ..
 
..
MuniEn ded'autres cestermes, deuxla loissomme est directe si la décomposition de compositiontout ,élément l'ensemblede <math>E_1F = \timessum_{i=1}^k E_2F_i</math> esten unsomme espaced'éléments vectoriel surdes <math>KF_i\,</math>. .est unique.
 
..
En Altres Paraules, la suma és directa si la descomposició de tot element de <math>F = \sum_{i=1}^k F_i</math> en suma d'elements dels <math>F_i\,</math> és única.
Dès lors , <math>\tilde{E_1} = E_1 \times \{0\}</math> et <math>\tilde{E_2} = \{0\} \times E_2</math> sont deux sous-espaces de <math>E_1 \times E_2</math> , respectivement isomorphes à <math>E_1</math> et <math>E_2</math> (on a "plongé" <math>E_1</math> , <math>E_2</math> dans le produit cartésien) ; ..
 
la relation <math>E_1 \times E_2 = \tilde{E_1} \oplus \tilde{E_2}</math> justifie l'appellation de (( somme directe externe )) . ..
 
..
 
..
Pour désigner une somme directe, on se sert des notations <math>F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_k</math> ou <math>\bigoplus_{i = 1} ^kF_i</math>.
Lorsque <math>E_1</math> et <math>E_2</math> sont de dimensions finies , il en est de même de leur somme directe externe , et : ..
 
: <math>\dim(E_1 \times E_2) = \dim E_1 + \dim E_2</math> ..
Per designar una suma directa, un se serveix de les notacions <math>F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_k</math> o <math>\bigoplus_{i = 1} ^kF_i</math>.
: (car <math>E_1 \times E_2</math> est somme directe des deux sous-espaces <math>\tilde{E_1}</math> et <math>\tilde{E_2}</math> , qui ont même dimension que <math>\ E_1</math> , <math>\ E_2</math> respectivement). ..
 
(===) Somme directe externe de plusieurs (( K )) -espaces vectoriels (===) ..
 
On définit de même la somme directe externe <math>\ E_1 \times \cdots \times E_k</math> de (( k )) espaces vectoriels <math>E_1 , \dots , E_k</math> sur le même corps <math>K</math>. ..
 
..
 
..
 
Lorsque <math>E_1 , \dots , E_k</math> sont de dimensions finies , il en est de même de leur somme directe externe , et : ..
 
: <math>\dim(E_1 \times \cdots \times E_k) = \dim E_1 + \cdots + \dim E_k</math>. ..
Comme dans le cas de 2 sous-espaces vectoriels, on peut caractériser les sommes directes par l'unicité de la décomposition du vecteur nul :
..
 
(===) Somme directe externe d'une famille infinie de (( K )) -espaces vectoriels (===) ..
Com en el cas de 2 sous-espaces vectorials, es pot caracteritzar els som directes per la unicitat de la descomposició del vector cap:
Pour un nombre fini d'espace vectoriels la somme directe externe et le PRODUIT DIRECT coïncident. Il n'en est pas de même lorsque la famille est infinie. ..
: La somme <math>F = \sum_{i=1}^k F_i</math> est directe si et seulement si :
..
 
En effet , soit <math>(E_i)_{i\in I}</math> une famille (éventuellement infinie) de (( K )) -espaces vectoriels. La somme directe externe <math>\oplus_{i\in I} E_i</math> est le sous-espace vectoriel du PRODUIT DIRECT <math>\prod_{i\in I} E_i</math> constitué des FAMILLES À SUPPORT FINI. La propriété universelle ci-dessous est la raison de ce choix. ..
: La suma <math>F = \sum_{i=1}^k F_i</math> és directa si i només si:
..
: l'unique ''k''-uplet <math>(u_1 ;u_2; \cdots ;u_k)</math> de <math>F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k</math> tel que <math>\sum_{i=1}^k u_i = 0</math> est celui dont tous les éléments sont nuls.
On peut , avec cette notion , élégamment définir la somme directe d'une famille infinie de sous-espaces : Une famille de sous-espace de (( E )) est en somme directe si et seulement si le morphisme somme qui va de la somme directe externe de ces sous-espaces dans (( E )) qui à une famille de vecteurs associe leur somme est injectif. ..
 
..
: l'únic ''k'' -uplet <math>(u_1;u_2; \cdots;u_k)</math> de <math>F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k</math> tal com <math>\sum_{i=1}^k u_i = 0</math> és aquell del qual tots els elements són nuls.
(====) Remarque à propos d'autres STRUCTURES ALGÉBRIQUES (====) ..
 
On définit de manière analogue la somme directe externe d'un nombre fini de GROUPES additifs , ou d'ANNEAUX , ou de (( A )) -MODULES sur le même anneau (( A )) . ..
 
..
 
Par exemple , si <math>A_1</math> et <math>A_2</math> sont deux anneaux , on définit sur <math>A_1 \times A_2</math> deux lois de composition interne : ..
 
* une addition : ..
 
: <math>\ (a_1 ; a_2) + (b_1 ; b_2) = (a_1 + b_1 ; a_2 + b_2)</math> ..
 
* une multiplication : ..
'''Remarque''' : dès que la famille comprend au moins 3 sous-espaces, il ne suffit pas pour que la somme soit directe que leurs intersections deux à deux soient réduites à <math>\ \{0\}</math>, c'est-à-dire que :
: <math>\ (a_1 ; a_2) \cdot (b_1 ; b_2) = (a_1 b_1 ; a_2 b_2)</math> ..
 
..
'''Es fixa''': així que la família comprèn almenys 3 sous-espaces, amb ell no n'hi ha prou perquè la suma sigui directa que les seves interseccions dos a dos estiguin reduïdes a <math>\ \{0\}</math>, és a dir que:
Muni de ces deux lois de composition , l'ensemble <math>A_1 \times A_2</math> est un anneau. Même si <math>A_1</math> et <math>A_2</math> sont INTÈGRES , leur produit cartésien ne l'est pas : <math>a_1</math> , <math>a_2</math> étant deux éléments non nuls de <math>A_1</math> , <math>A_2</math> respectivement , on a : <math>\ (a_1 ; 0) \cdot (0 ; a_2) = (0 ; 0)</math>. ..
:<math>F_i \cap F_j = \{0\}</math> pour tout ''i'' et pour tout ''j'', ''i'' différent de ''j''.
..
 
(==) Propriété universelle de la somme directe (==) ..
 
Soit <math>A</math> un anneau ; ..
 
soit <math>(M_i)_{i\in I}</math> une famille de A-modules , <math>N</math> un A-module ; ..
On s’en convaincra en regardant dans <math>\R^2</math> les sous-espaces vectoriels :
soit <math>(f_i : M_i\longrightarrow N)_{i\in I} </math> une famille d'applications linéaires. ..
 
..
Un se'n convencerà mirant en <math>\R^2</math> els sous-espaces vectorials:
Alors il existe une unique application <math>\phi : \bigoplus_{i\in I}^{ext} M_i\longrightarrow N</math> A-linéaire telle que : ..
: <math>F_1=\{(x ; 0) , x \in \R\}</math>
<math>\forall i\in I</math> , <math>\phi \circ q_i = f_i</math> avec <math> \begin{matrix}q_i : & M_i & \longrightarrow & \prod_{k\in I} M_k\\ & x_i & \mapsto & (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix} </math> l'injection canonique. ..
: <math>F_2=\{(y ; y) , y \in \R\}</math>
..
: <math>F_3=\{(0 ; t) , t \in \R\}</math>.
{{ boîte déroulante .3. align=left .3. titre=Démonstrations .3. contenu= ..
Leurs intersections deux à deux sont réduites à {(0 ; 0)}, mais leur somme <math>\ F = F_ 1 + F_2 + F_3</math> (égale à <math>\ \R^2</math>) n'est pas directe.
..
 
Par analyse synthèse : ..
Les seves interseccions dos a dos estan reduïdes a {(0; 0)}, però la seva suma <math>\ F = F_ 1 + F_2 + F_3</math> (igual a <math>\ \R^2</math>) no és no directa.
..
 
* Supposons qu'un tel <math>\phi</math> existe. Soit <math>(x_i)_{i\in I}\in \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i</math> ; on a : ..
 
<math> \begin{matrix}q_i : & X_i & \longrightarrow & \bigoplus_{k\in I}^{ext} X_k\\ & x_i & \mapsto & (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix} </math> avec <math>\delta_{ik}</math> symbole de Kronecker ; on a : <math>\phi \circ q_i (x_i) = \phi(0 ,... ,0 ,x_i ,0 ,... ,0) = f_i(x_i)</math> et , pour <math>(n ,m)\in I^2</math> , ..
 
<math>\phi((x_n+x_m) = \phi((x_n ,0)+(0 ,x_m)) = f_n(x_n)+f_m(x_m)</math> par A-linéarité , donc <math>\phi((x_i)_{i\in I}) = \phi(\sum_{k\in I} x_k\delta_{ik}) = \sum_{i\in I} f_i(x_i)</math> ce qui assure l'unicité de <math>\phi</math> ..
En effet, les 3 vecteurs <math>u_1=(1 ; 0),\, u_2=(-1 ; -1),\, u_3=(0 ; 1)</math> appartiennent respectivement à <math>F_1,\, F_2,\, F_3</math> ; ils sont non nuls, et tels que <math>\ u_1 + u_2 + u_3= (0 ; 0)</math>: la décomposition du vecteur nul n'est pas unique.
..
 
* Posons donc <math> \begin{matrix}\phi : & \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i & \longrightarrow & Y\\ & (x_i)_{i\in I} & \mapsto & \sum_{i\in I} f_i(x_i)\\\end{matrix} </math> ; les <math>f_i</math> étant linéaires , <math>\phi</math> est linéaire. ..
En efecte, els 3 vectors <math>u_1=(1; 0),\, u_2=(-1 ; -1),\, u_3=(0 ; 1)</math> pertanyen respectivament a <math>F_1,\, F_2,\, F_3</math>; són no nuls, i tals com <math>\ u_1 + u_2 + u_3= (0; 0)</math>: la descomposició del vector cap no és únic.
..
 
Soit <math>x_i\in X_i</math> , on a : <math>\phi \circ q_i (x_i) = \phi (0 ,... ,0 ,x_i ,0 ,... ,0) = \sum_{k\in I} f_k(x_k) = f_i(x_i)</math> ; ainsi nous avons bien <math>\phi \circ q_i = f_i</math> , donc <math>\phi</math> existe bien. ..
 
}} ..
 
..
En revanche, on montre que les sous-espaces de la famille des <math>\ (F_{i})_{1\geq i\geq n}</math> sont en somme directe dans <math>\ E</math> si et seulement si :
(==) Voir aussi (==) ..
 
* ESPACE VECTORIEL ..
Per contra, s'ensenya que els sous-espaces de la família dels <math>\ (F_{i})_{1\geq i\geq n}</math> és en suma directa en <math>\ E</math> si i només si:
* SOMME (CATÉGORIE) ..
* <math>\ \sum_{i=1}^n F_i = E </math>
..
 
{{ Opérations binaires}} ..
* <Math>\ \sum_{i=1}^n F_i = E </math>
{{ Algèbre linéaire}} ..
* <math>\ \forall k \in \left\{ 1,...,n-1\right\}, \ \left(\sum_{i=1}^{k}F_{i}\right)\cap F_{k+1}=\left\{0_{E}\right\}</math>
{{ Portail mathématiques}} ..
 
..
* <Math>\ \forall k \in \left\{ 1...,n-1\right\}, \ \left(\sum_{i=1}^{k}F_{i}\right)\cap F_{k+1}=\left\{0_{E}\right\}</math>
[[Catégorie:Espace vectoriel]] ..
 
[[Catégorie:Opération]] ..
 
..
 
[[de:Direkte Summe]] ..
Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies, on a encore l'équivalence des assertions suivantes :
[[en:Direct sum of modules]] ..
 
[[es:Suma directa]] ..
Quan els sous-espaces vectorials són de dimensions finites, es té encara l'equivalència de les assercions següents:
[[fi:Suora summa]] ..
# Les <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> sont en somme directe.
[[he:סכום ישר]] ..
 
[[it:Somma diretta]] ..
# Els <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> són en suma directa.
[[ja:直和]] ..
# <math>\sum_{i=1}^k \dim F_i = \dim\left(\sum_{i=1}^k F_i\right)</math>.
[[ko:직합]] ..
 
[[nl:Directe som]] ..
# <math>\sum_{i=1}^k \dim F_i = \dim\left(\sum_{i=1}^k F_i\right)</math>.
[[pt:Soma direta]] ..
# En juxtaposant une base <math>\ \mathcal{B}_1</math> de <math>\ F_1</math>, ... , une base <math>\ \mathcal{B}_k</math> de <math>\ F_k</math>, on constitue une base de la somme.
[[ru:Прямая сумма]] ..
 
[[uk:Пряма сума]] ..
# juxtaposant una base <math>\ \mathcal{B}_1</math> de <math>\ F_1</math>... Una base <math>\ \mathcal{B}_k</math> de <math>\ F_k</math>, es constitueix una base de la suma.
paraulesenllacos ..
 
..
 
ALGÈBRE ..
 
..
 
SOUS-ESPACES VECTORIELS ..
 
..
 
SOUS-ESPACES SUPPLÉMENTAIRES ..
'''Exemple''' : soient ''E'' un espace vectoriel sur ''K'' de dimension finie, et ''f'' un endomorphisme de ''E'' ayant exactement ''p'' [[Valeur propre (synthèse)|valeurs propres]] (distinctes) appelées <math> \lambda_1,\, \dots,\, \lambda_p</math>. On désigne par <math>\ \mathrm{Id}</math> l'endomorphisme identique de ''E''.
..
 
SUPPLÉMENTAIRES ..
'''Exemple''': siguin ''E'' un espai vectorial sobre ''K'' de dimensió finita, i ''f'' un endomorfisme de ''E'' tenint exactament ''p'' [[valors propis]] (diferents) anomenats <math> \lambda_1,\, \dots,\, \lambda_p</math>. Es designa per <math>\ \mathrm{Id}</math> l'endomorfisme idèntic de ''E'' .
..
 
VALEURS PROPRES ..
 
..
 
SOUS-ESPACE PROPRE ..
Pour tout entier ''i'' tel que 1 ≤ ''i'' ≤ p, <math> E_i = \mathrm{ker}(f - \lambda_i\, \mathrm{Id})</math> est le [[Valeur propre (synthèse)|sous-espace propre]] de ''f'' associé à la valeur propre <math>\ \lambda_i</math>.<br />
..
 
DIAGONALISABLE ..
Per a tot enter ''i'' tal com 1 ≤; ''i'' ≤ pàg., <math> E_i = \mathrm{ker}(f - \lambda_i\, \mathrm{Id})</math> és el [[sous-espace propi]] de ''f'' associat al valor propi <math>\ \lambda_i</math>.<br />
..
Les deux propriétés suivantes sont classiques :
COMPLET ..
 
..
Les dues propietats següents són clàssiques:
EN PARTICULIER S'IL EST DE DIMENSION FINIE ..
* La somme <math>\sum_{i=1}^p E_i</math> est directe.
..
 
PROJECTION ORTHOGONALE ..
* La suma <math>\sum_{i=1}^p E_i</math> és directa.
..
* <math>\bigoplus_{i = 1}^p E_i = E</math>si et seulement si ''f'' est [[Réduction d'endomorphisme|diagonalisable]].
PRODUIT DIRECT ..
 
..
* <Math>\bigoplus_{i = 1}^p E_i = E</math>si i només si ''f'' és [[diagonalisable]].
PRODUIT DIRECT ..
:Lorsque c'est le cas, on constitue une base <math>\ \mathcal{B}</math> de ''E'' diagonalisant ''f'' en juxtaposant une base <math>\ \mathcal{B}_1</math> de <math>\ E_1</math>, ... , une base <math>\ \mathcal{B}_p</math> de <math>\ E_p</math>.
..
 
FAMILLES À SUPPORT FINI ..
: Quan és el cas, es constitueix una base <math>\ \mathcal{B}</math> de ''E'' diagonalisant ''f'' juxtaposant una base <math>\ \mathcal{B}_1</math> de <math>\ E_1</math>... Una base <math>\ \mathcal{B}_p</math> de <math>\ E_p</math>.
..
 
STRUCTURES ..
 
..
 
ALGÉBRIQUES ..
==== Somme directe orthogonale ====
..
 
GROUPES ..
==== Suma directa ortogonal ====
..
On désigne ici par ''E'' un espace préhilbertien réel ou complexe (espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire). Soit une famille <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> de sous-espaces vectoriels de ''E''. S'ils sont deux à deux orthogonaux, leur somme est directe. Elle est alors appelée '''somme directe orthogonale'''.
ANNEAUX ..
 
..
Es designa aquí per ''E'' un espai préhilbertien real o complex (espai vectorial real o complex proveït d'un producte escalar). Sigui una família <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> de sous-espaces vectorials de ''E'' . Si són dos a dos d'ortogonals, la seva suma és directa. És llavors anomenada '''suma directa ortogonal'''.
MODULES ..
 
..
 
INTÈGRES ..
 
..
Un exemple très simple est l'espace <math>F^\perp</math> constitué des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs d'un sous-espace vectoriel ''F'' : il est en somme directe avec ''F''. L'égalité <math>E = F^\perp + F</math> n'est pas toujours vérifiée lorsque la dimension est infinie. Par contre, elle l'est dès que <math>E</math> est de dimension finie.
ESPACE VECTORIEL ..
 
..
Un exemple molt senzill és l'espai <math>F^\perp</math> constituït dels vectors ortogonals a tots els vectors d'un sous-espace vectorial ''F'': és en suma directa amb ''F'' . La igualtat <math>E = F^\perp + F</math> no és sempre verificada quan la dimensió és infinita. En canvi, ho és així que <math>E</math> és de dimensió finita.
SOMME (CATÉGORIE) ..
 
 
 
Deux espaces qui sont à la fois supplémentaires et orthogonaux sont dits '''supplémentaires orthogonaux'''. Un sous-espace vectoriel F de E, même s'il a des supplémentaires, n'en a pas nécessairement un qui lui soit orthogonal. Une condition suffisante est que l'espace F soit [[Espace_complet|complet]] (ce qui est réalisé [[topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|en particulier s'il est de dimension finie]]). Cette question est liée à la possibilité d'effectuer une [[projection orthogonale]].
 
Dos espais que són a la vegada suplementaris i ortogonals són anomenats '''suplementaris ortogonals'''. Un sous-espace vectorial F d'E, fins i tot si té suplementaris, no en té necessàriament un que el sigui ortogonal. Una condició suficient és que l'espai F sigui [[complet]] (allò que és realitzat [[en particular si és de dimensió finita)]]. Aquesta pregunta està vinculada a la possibilitat d'efectuar una [[projecció ortogonal]].
 
 
 
Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies, on a l'équivalence des assertions suivantes :
 
Quan els sous-espaces vectorials són de dimensions finites, es té l'equivalència de les assercions següents:
# Les <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> sont en somme directe orthogonale.
 
# Els <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> són en suma directa ortogonal.
# En juxtaposant une base orthogonale <math>\ \mathcal{B}_1</math> de <math>\ F_1</math>, ... , une base orthogonale <math>\ \mathcal{B}_k</math> de <math>\ F_k</math>, on constitue une base orthogonale de la somme.
 
# juxtaposant una base ortogonal <math>\ \mathcal{B}_1</math> de <math>\ F_1</math>... , una base ortogonal <math>\ \mathcal{B}_k</math> de <math>\ F_k</math>, es constitueix una base ortogonal de la suma.
 
 
 
== Somme directe externe et produit cartésien ==
 
== Suma directa externa i producte cartesià ==
Lorsque deux sous-espaces <math>F_1</math>, <math>F_2</math> d'un espace vectoriel ''E'' sont en somme directe, l'application suivante est bijective :
 
Quan dos sous-espaces <math>F_1</math>, <math>F_2</math> d'un espai vectorial ''E'' són en suma directa, l'aplicació següent és bijectiva:
:<math>F_1 \times F_2 \to F_1 \oplus F_2, (u_1 ; u_2) \mapsto u_1 + u_2</math>
 
 
 
Il existe dans ce cas une unique structure d'espace vectoriel sur le produit cartésien <math>F_1 \times F_2</math> telle que cette application soit un isomorphisme d'espaces vectoriels ; la loi interne et la loi externe sont définies respectivement par les relations :
 
Existeix en aquest cas una única estructura d'espai vectorial sobre el producte cartesià <math>F_1 \times F_2</math> tal que aquesta aplicació sigui un isomorfisme d'espais vectorials; la llei interna i la llei externa són definides respectivament per les relacions:
:<math>\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2)</math> et <math>\alpha \, (u_1 ; u_2) = (\alpha\, u_1 ; \alpha\, u_2)</math>,
:où <math>u_1</math>, <math>v_1</math> sont dans <math>F_1</math>, <math>u_2</math>, <math>v_2</math> sont dans <math>F_2</math>, et <math>\alpha</math> est dans <math>K</math>.
 
: on <math>u_1</math>, <math>v_1</math> són en <math>F_1</math>, <math>u_2</math>, <math>v_2</math> són en <math>F_2</math>, i <math>\alpha</math> és en <math>K</math>.
 
 
 
Ceci incite, si <math>E_1</math> et <math>E_2</math> sont deux espaces vectoriels quelconques sur le même corps <math>K</math>, à définir leur somme directe, dite alors ''externe''.
 
Això incita, si <math>E_1</math> i <math>E_2</math> són dos espais vectorials qualssevol sobre el mateix cos <math>K</math>, a definir la seva suma directa, anomenada llavors ''extern'' .
 
 
 
=== Somme directe externe de deux ''K''-espaces vectoriels ===
 
=== Suma directa externa de dos ''K'' -espais vectorials ===
La '''somme directe externe''' de deux <math>K</math>-espaces vectoriels <math>E_1</math> et <math>E_2</math> est le produit cartésien <math>E_1 \times E_2</math> sur lequel on définit
 
La '''ordena a directa externa''' de dos <math>K</math>-espaces vectorials <math>E_1</math> i <math>E_2</math> és el producte cartesià <math>E_1 \times E_2</math> sobre el qual es defineix
* une addition :
 
* una addició:
:<math>\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2)</math>
* une multiplication externe par les éléments de <math>K</math> :
 
* una multiplicació externa pels elements de <math>K</math>:
:<math>\alpha \, (u_1 ; u_2) = (\alpha\, u_1 ; \alpha\, u_2)</math> (où <math>\alpha \in K</math>)
 
Muni de ces deux lois de composition, l'ensemble <math>E_1 \times E_2</math> est un espace vectoriel sur <math>K</math>.
 
Proveït d'aquestes dues lleis de composició, el conjunt <math>E_1 \times E_2</math> és un espai vectorial sobre <math>K</math>.
 
 
 
Dès lors, <math>\tilde{E_1} = E_1 \times \{0\}</math> et <math>\tilde{E_2} = \{0\} \times E_2</math> sont deux sous-espaces de <math>E_1 \times E_2</math>, respectivement isomorphes à <math>E_1</math> et <math>E_2</math> (on a "plongé" <math>E_1</math>, <math>E_2</math> dans le produit cartésien) ;
 
Des de llavors, <math>\tilde{E_1} = E_1 \times \{0\}</math> i <math>\tilde{E_2} = \{0\} \times E_2</math> són dos sous-espaces de <math>E_1 \times E_2</math>, respectivament isomorfs a <math>E_1</math> i <math>E_2</math> (s'ha "submergit" <math>E_1</math>, <math>E_2</math> al producte cartesià);
la relation <math>E_1 \times E_2 = \tilde{E_1} \oplus \tilde{E_2}</math> justifie l'appellation de ''somme directe externe''.
 
la relació <math>E_1 \times E_2 = \tilde{E_1} \oplus \tilde{E_2}</math> justifica la denominació de ''ordena a directa externa'' .
 
 
 
 
 
 
Lorsque <math>E_1</math> et <math>E_2</math> sont de dimensions finies, il en est de même de leur somme directe externe, et :
 
Quan <math>E_1</math> i <math>E_2</math> són de dimensions finites, n'és igualment del seu son directa externa, i:
:<math>\dim(E_1 \times E_2) = \dim E_1 + \dim E_2</math>
:(car <math>E_1 \times E_2</math> est somme directe des deux sous-espaces <math>\tilde{E_1}</math> et <math>\tilde{E_2}</math>, qui ont même dimension que <math>\ E_1</math>, <math>\ E_2</math> respectivement).
 
: (ja que <math>E_1 \times E_2</math> és suma directa dels dos sous-espaces <math>\tilde{E_1}</math> i <math>\tilde{E_2}</math>, que tenen igual dimensió que <math>\ E_1</math>, <math>\ E_2</math> respectivament).
=== Somme directe externe de plusieurs ''K''-espaces vectoriels ===
 
=== Suma directa externa d'alguns ''K'' -espais vectorials ===
On définit de même la somme directe externe <math>\ E_1 \times \cdots \times E_k</math> de ''k'' espaces vectoriels <math>E_1, \dots, E_k</math> sur le même corps <math>K</math>.
 
Es defineix igualment la suma directa externa <math>\ E_1 \times \cdots \times E_k</math> de ''k'' espais vectorials <math>E_1, \dots, E_k</math> sobre el mateix cos <math>K</math>.
 
 
 
 
 
 
Lorsque <math>E_1, \dots, E_k</math> sont de dimensions finies, il en est de même de leur somme directe externe, et :
 
Quan <math>E_1, \dots, E_k</math> són de dimensions finites, n'és igualment del seu son directa externa, i:
:<math>\dim(E_1 \times \cdots \times E_k) = \dim E_1 + \cdots + \dim E_k</math>.
 
 
 
=== Somme directe externe d'une famille infinie de ''K''-espaces vectoriels ===
 
=== Suma directa externa d'una família infinita de ''K'' -espais vectorials ===
Pour un nombre fini d'espace vectoriels la somme directe externe et le [[produit direct]] coïncident. Il n'en est pas de même lorsque la famille est infinie.
 
Per a un nombre acabat d'espai vectorials la suma directa externa i el [[producte directe]] coincident. No n'és igualment quan la família és infinita.
 
 
 
En effet, soit <math>(E_i)_{i\in I}</math> une famille (éventuellement infinie) de ''K''-espaces vectoriels. La somme directe externe <math>\oplus_{i\in I} E_i</math> est le sous-espace vectoriel du [[produit direct]] <math>\prod_{i\in I} E_i</math> constitué des [[familles à support fini]]. La propriété universelle ci-dessous est la raison de ce choix.
 
En efecte, sigui <math>(E_i)_{i\in I}</math> una família (eventualment infinita) de ''K'' -espais vectorials. La suma directa externa <math>\oplus_{i\in I} E_i</math> és el sous-espace vectorial del [[producte directe]] <math>\prod_{i\in I} E_i</math> constituït de les [[famílies a suport finit]]. La propietat universal davall és la raó d'aquesta tria.
 
 
 
On peut, avec cette notion, élégamment définir la somme directe d'une famille infinie de sous-espaces : Une famille de sous-espace de ''E'' est en somme directe si et seulement si le morphisme somme qui va de la somme directe externe de ces sous-espaces dans ''E'' qui à une famille de vecteurs associe leur somme est injectif.
 
Es pot, amb aquesta noció, definir elegantment la suma directa d'una família infinita de sous-espaces: Una família de sous-espace de ''E'' és en suma directa si i només si el morfisme ordena a qui va de la suma directa externa d'aquests sous-espaces en ''E'' que a una família de vectors associa el seu son és injectif.
 
 
 
==== Remarque à propos d'autres [[structure (mathématiques)|structures]] [[structure algébrique|algébriques]] ====
 
==== Observació a propòsit d'altres [[estructures]] [[estructura algebraica|algebraiques]] ====
On définit de manière analogue la somme directe externe d'un nombre fini de [[groupe (mathématique)|groupes]] additifs, ou d'[[anneau (mathématiques)|anneaux]], ou de ''A''-[[module sur un anneau|modules]] sur le même anneau ''A''.
 
Es defineix de manera anàloga la suma directa externa d'un nombre finit de [[grup (matemàtiques)|grups]] additius, o d'[[anell (matemàtiques)|anells]], o de ''Té'' -[[mòdul|mòduls]] sobre el mateix anell ''Té'' .
 
 
 
Par exemple, si <math>A_1</math> et <math>A_2</math> sont deux anneaux, on définit sur <math>A_1 \times A_2</math> deux lois de composition interne :
 
Per exemple, si <math>A_1</math> i <math>A_2</math> són dos anells, es defineixen sobre <math>A_1 \times A_2</math> dues lleis de composició interna:
* une addition :
 
* una addició:
:<math>\ (a_1 ; a_2) + (b_1 ; b_2) = (a_1 + b_1 ; a_2 + b_2)</math>
* une multiplication :
 
* una multiplicació:
:<math>\ (a_1 ; a_2) \cdot (b_1 ; b_2) = (a_1 b_1 ; a_2 b_2)</math>
 
 
 
Muni de ces deux lois de composition, l'ensemble <math>A_1 \times A_2</math> est un anneau. Même si <math>A_1</math> et <math>A_2</math> sont [[anneau intègre|intègres]], leur produit cartésien ne l'est pas : <math>a_1</math>, <math>a_2</math> étant deux éléments non nuls de <math>A_1</math>, <math>A_2</math> respectivement, on a : <math>\ (a_1 ; 0) \cdot (0 ; a_2) = (0 ; 0)</math>.
 
Proveït d'aquestes dues lleis de composició, el conjunt <math>A_1 \times A_2</math> és un anell. Fins i tot si <math>A_1</math> i <math>A_2</math> són [[íntegres]], el seu producte cartesià no ho és: <Math>a_1</math>, <math>a_2</math> sent dos elements no nuls de <math>A_1</math>, <math>A_2</math> respectivament, es té: <Math>\ (a_1; 0) \cdot (0; a_2) = (0 ; 0)</math>.
 
 
 
== Propriété universelle de la somme directe ==
 
== Propietat universal de la suma directa ==
Soit <math>A</math> un anneau ;
 
Sigui <math>A</math> un anell;
soit <math>(M_i)_{i\in I}</math> une famille de A-modules, <math>N</math> un A-module ;
 
sigui <math>(M_i)_{i\in I}</math> una família d'A-mòduls, <math>N</math> un A-mòdul;
soit <math>(f_i : M_i\longrightarrow N)_{i\in I} </math> une famille d'applications linéaires.
 
sigui <math>(f_i: M_i\longrightarrow N)_{i\in I} </math> una família d'aplicacions lineals.
 
 
 
Alors il existe une unique application <math>\phi : \bigoplus_{i\in I}^{ext} M_i\longrightarrow N</math> A-linéaire telle que :
 
Llavors existeix una única aplicació <math>\phi: \bigoplus_{i\in I}^{ext} M_i\longrightarrow N</math> A-lineal tal que:
<math>\forall i\in I</math>, <math>\phi \circ q_i = f_i</math> avec <math> \begin{matrix}q_i : & M_i & \longrightarrow & \prod_{k\in I} M_k\\ & x_i & \mapsto & (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix} </math> l'injection canonique.
 
 
 
{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstrations|contenu=
 
{{ capsa desenrotllant|align=left|títol=Démonstrations|contingut=
 
 
 
Par analyse synthèse :
 
Per analitza síntesi:
 
 
 
* Supposons qu'un tel <math>\phi</math> existe. Soit <math>(x_i)_{i\in I}\in \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i</math> ; on a :
 
* Suposem que tal <math>\phi</math> existeix. Sigui <math>(x_i)_{i\in I}\in \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i</math>; es té:
<math> \begin{matrix}q_i : & X_i & \longrightarrow & \bigoplus_{k\in I}^{ext} X_k\\ & x_i & \mapsto & (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix} </math> avec <math>\delta_{ik}</math> symbole de Kronecker ; on a : <math>\phi \circ q_i (x_i) = \phi(0,...,0,x_i,0,...,0) = f_i(x_i)</math> et, pour <math>(n,m)\in I^2</math>,
<math>\phi((x_n+x_m) = \phi((x_n,0)+(0,x_m)) = f_n(x_n)+f_m(x_m)</math> par A-linéarité, donc <math>\phi((x_i)_{i\in I}) = \phi(\sum_{k\in I} x_k\delta_{ik}) = \sum_{i\in I} f_i(x_i)</math> ce qui assure l'unicité de <math>\phi</math>
 
 
 
* Posons donc <math> \begin{matrix}\phi : & \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i & \longrightarrow & Y\\ & (x_i)_{i\in I} & \mapsto & \sum_{i\in I} f_i(x_i)\\\end{matrix} </math> ; les <math>f_i</math> étant linéaires, <math>\phi</math> est linéaire.
 
* Posem per tant <math> \begin{matrix}\phi: & \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i & \longrightarrow & Y\\ & (x_i)_{i\in I} & \mapsto & \sum_{i\in I} f_i(x_i)\\\end{matrix} </math>; sent els <math>f_i</math> lineals, <math>\phi</math> és lineal.
 
 
 
Soit <math>x_i\in X_i</math>, on a : <math>\phi \circ q_i (x_i) = \phi (0,...,0,x_i,0,...,0) = \sum_{k\in I} f_k(x_k) = f_i(x_i)</math> ; ainsi nous avons bien <math>\phi \circ q_i = f_i</math>, donc <math>\phi</math> existe bien.
 
Sigui <math>x_i\in X_i</math>, es té: <Math>\phi \circ q_i (x_i) = \phi (0...,0,x_i,0...,0) = \sum_{k\in I} f_k(x_k) = f_i(x_i)</math>; així tenim bé <math>\phi \circ q_i = f_i</math>, per tant <math>\phi</math> existeix bé.
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