|
== Producte directe de mòduls ==
The direct product for [[module (mathematics)|modules]] (not to be confused with the [[tensor product]]) is very similar to the one defined for groups above, using the [[cartesian product]] with the operation of addition being componentwise, and the scalar multiplication just distributing over all the components. Starting from '''R''' we get [[Euclidean space]] '''R'''<sup>''n''</sup>, the prototypical example of a real ''n''-dimensional vector space. The direct product of '''R'''<sup>''m''</sup> and '''R'''<sup>''n''</sup> is '''R'''<sup>''m'' + ''n''</sup>.
El producte directe per ade [[mòdul|mòduls]] (a no ser confósconfondre amb el [[producte tensorial|producte tensorial)]]) és molt similar a aquestal definit per a grups a dalt, fa servirntservir el [[producte cartesià]] amb l'operació d'addició que éscomponent componentwisea component, i la multiplicació escalar només que distribueixdistribuint-la sobre tots els components. Començant deper '''R''' nosaltres tenens'obté l'[[Espaiespai euclidià]] '''R'''<sup>''n'' </sup>, l'exemple prototípic d'un espai vectorial real ''n'' -espai vectorial dimensional. El producte directe de '''R'''<sup>''m'' </sup> i '''R'''<sup>''n'' </sup> és '''R'''<sup>''m'' + ''n'' </sup>.
Fixi'sFixeu-vos que un producte directe per a un índex finit <math>\prod_{i=1}^n X_i </math> és idèntic a la [[ Suma directa|suma directa]] <math>\bigoplus_{i=1}^n X_i </math>. La suma directa i el producte directe difereixen només per a índexs infinits, on els elements d'una suma directa són zero per a tot però per atret d'un nombre finit d'entrades. Són doblesduals en el sentit de la [[ Teoriateoria de categories |Teoria De Categoria]]: la suma directa és el [[coproducte]], mentre que el producte directe és el producte. ▼
Per exemple, considericonsiderant <math>X=\prod_{i=1}^\infty \mathbb{R} </math> i <math>Y=\bigoplus_{i=1}^\infty \mathbb{R}</math>, el producte directe infinit i la suma directa dels nombres reals. Només les seqüènciessuccessions amb un nombre finit d'elements diferents de non-zero són dinsa ''Y'' . Per exemple ''(1,0,0,0...)'' és ena ''Y'' però ''(1,1,1,1...)'' no hi és. Aquestes dues seqüènciessuccessions són al producte directe ''X''; de fet ''Y'' és un subconjunt propi de ''X'' (és a dir ''Y'' ⊂''X'' ). ▼
Note that a direct product for a finite index <math>\prod_{i=1}^n X_i </math> is identical to the [[Direct sum of modules|direct sum]] <math>\bigoplus_{i=1}^n X_i </math>. The direct sum and direct product differ only for infinite indices, where the elements of a direct sum are zero for all but for a finite number of entries. They are dual in the sense of [[Category Theory]]: the direct sum is the [[coproduct]], while the direct product is the product.
▲Fixi's que un producte directe per a un índex finit <math>\prod_{i=1}^n X_i </math> és idèntic a la [[Suma directa|suma directa]] <math>\bigoplus_{i=1}^n X_i </math>. La suma directa i el producte directe difereixen només per a índexs infinits, on els elements d'una suma directa són zero per a tot però per a un nombre finit d'entrades. Són dobles en el sentit de [[Teoria de categories|Teoria De Categoria]]: la suma directa és el [[coproducte]], mentre que el producte directe és el producte.
For example, consider <math>X=\prod_{i=1}^\infty \mathbb{R} </math> and <math>Y=\bigoplus_{i=1}^\infty \mathbb{R}</math>, the infinite direct product and direct sum of the real numbers. Only sequences with a finite number of non-zero elements are in ''Y''. For example, ''(1,0,0,0,...)'' is in ''Y'' but ''(1,1,1,1,...)'' is not. Both of these sequences are in the direct product ''X''; in fact, ''Y'' is a proper subset of ''X'' (that is, ''Y''⊂''X'').
▲Per exemple, consideri <math>X=\prod_{i=1}^\infty \mathbb{R} </math> i <math>Y=\bigoplus_{i=1}^\infty \mathbb{R}</math>, el producte directe infinit i suma directa dels nombres reals. Només les seqüències amb un nombre finit d'elements de non-zero són dins ''Y'' . Per exemple ''(1,0,0,0...)'' és en ''Y'' però ''(1,1,1,1...)'' no és. Aquestes dues seqüències són al producte directe ''X''; de fet ''Y'' és un subconjunt propi de ''X'' (és a dir ''Y'' ⊂''X'' ).
== Producte directe d'espais topològics ==
| 