|
En el Producte Cartesià de dos conjunts amb [[relacions binàries]] ''R'' i ''S'', es defineix (''a'', ''b'') T (''c'', ''d'') com ''a'' ''R'' ''c'' i ''b'' ''S'' ''d''. Si ''R'' i ''S'' són les dues relacions [[relació reflexiva|reflexives]], [[relació irreflexiva|irreflexives]], [[relació transitiva|transitives]], [[relació simètrica|simètriques]], o [[relació asimètrica|asimètriques]], ''T'' té la mateixa propietat.<Ref>[http://cr.yp.to/2005-261/bender1/Eo.pdf Equivalència i Ordre]</ref> Combinant propietats se segueix que això també s'aplica en un [[preordre]] i en una [[relació d'equivalència]]. Tanmateix, si ''R'' i ''S'' són [[relació total|relacions totals]], ''T'' en general no ho és.
== Producte categòricde categories ==
''Main article: [[Product (category theory)]]''
''article {{Principal: [[|Producte (teoria de categories)]] CATEGORIA)''
The direct product can be abstracted to an arbitrary [[category theory|category]]. In a general category, given a collection of objects ''A<sub>i</sub>'' ''and'' a collection of [[morphism]]s ''p<sub>i</sub>'' from ''A'' to ''A<sub>i</sub>'' with ''i'' ranging in some index set ''I'', an object ''A'' is said to be a '''categorical product''' in the category if, for any object ''B'' and any collection of morphisms ''f<sub>i</sub>'' from ''B'' to ''A<sub>i</sub>'', there exists a unique morphism ''f'' from ''B'' to ''A'' such that ''f<sub>i</sub> = p<sub>i</sub> f'' and this object ''A'' is unique. This not only works for two factors, but arbitrarily (even infinitely) many.
El producte directe es pot resumir a una [[teoria de categories|categoria]] arbitrària. En una categoria general, donat una recollida d'objectes ''A<sub>i</sub>'' ''i'' una recollida de [[morfisme|morphisms]] ''p<sub>i</sub>'' de ''A'' a ''A<sub>i</sub>'' amb ''i'' estenent-se en algun conjunt d'índex ''jo'', un objecte ''A'' és dit ser un '''producte categòric''' en la categoria si, per a qualsevol objecte ''B'' i qualsevol recollida de morphisms ''f<sub>i</sub>'' de ''B'' a ''A<sub>i</sub>'', existeix un morphism únic ''f'' de ''B'' a ''A'' tal que ''f<sub>i</sub> = p<sub>i</sub> f'' i aquest objecte ''A'' és únic. Això no solament en treballa per a dos factors, però arbitràriament (fins i tot infinitament) molts. ▼
For groups we similarly define the direct product of a more general, arbitrary collection of groups ''G<sub>i</sub>'' for ''i'' in ''I'', ''I'' an index set. Denoting the cartesian product of the groups by ''G'' we define multiplication on ''G'' with the operation of componentwise multiplication; and corresponding to the ''p<sub>i</sub>'' in the definition above are the projection maps
Per a grups similarment definim el producte directe d'una recollida més general, arbitrària de grups ''G<sub>i</sub>'' per ''i'' en ''jo'', ''jo'' un conjunt d'índex. Denotant el producte cartesian dels grups a prop ''G'' nosaltres defineixen multiplicació damunt ''G'' amb l'operació de multiplicació de componentwise; i corresponent-se al ''p<sub>i</sub>'' en la definició damunt són els mapes de projecció ▼
▲ElEs productepot directefer esabtracció potdel resumirproducte adirecte en una [[teoria de categories|categoria]] arbitrària. En una categoria general, donatdonada una recollidacol·lecció d'objectes ''A<sub>i</sub>'' ''i'' una recollidacol·lecció de [[morfisme |morphisms]] s ''p<sub>i</sub>'' de ''A'' a ''A<sub>i</sub>'' amb ''i'' estenent-se en algun conjunt d'índex '' joI'', un objecte ''A'' és ditdiu serque és un '''producte categòric''' en la categoria si, per a qualsevol objecte ''B'' i qualsevol recollidacl·lecció de morphismsmorfismes ''f<sub>i</sub>'' de ''B'' a ''A<sub>i</sub>'', existeix un morphismmorfisme únic ''f'' de ''B'' a ''A'' tal que ''f<sub>i</sub> = p<sub>i</sub> f'' i aquest objecte ''A'' és únic. Això no solament en treballafunciona per a dos factors, peròsinó arbitràriamentper a quantitats arbitràries (fins i tot infinitamentinfinits) molts.
▲Per a grups similarmentde forma similar es definimdefineix el producte directe d'una recollidacol·lecció més general, arbitrària de grups ''G<sub>i</sub>'' per ''i'' en '' joI'', '' joI'' un conjunt d'índex. Denotant el producte cartesiancartesià dels grups a propper ''G'' nosaltreses defineixen la multiplicació damunta ''G'' amb l'operació de multiplicació decomponent a componentwisecomponent; i corresponent-se al ''p<sub>i</sub>'' en la definició de damunt són elsles mapesaplicacions de projecció
:<math>\pi_i \colon G \to G_i\quad \mathrm{by} \quad \pi_i(g) = g_i</math>,
les funcions que porten <math>(g_j)_{j \in I}</math> aal seu ''i'' èssim component de th ''g<sub>i</sub>'' . ▼
the functions that take <math>(g_j)_{j \in I}</math> to its ''i''th component ''g<sub>i</sub>''.
▲les funcions que porten <math>(g_j)_{j \in I}</math> a seu ''i'' component de th ''g<sub>i</sub>'' .
<!-- this is easier to visualize as a [[commutative diagram]]; eventually somebody should insert a relevant diagram for the categorical product here! -->
<!-- que això és més fàcil de visualitzar com a [[diagrama commutatiu]]; finalment algú hauria d'introduir un diagrama pertinent per al producte categòric aquí! -->
== Producte directe intern i extern ==
| 