Revisió del 23:16, 29 març 2010 modifica Amical-bot (discussió \| contribucions) Bots 170.156 edits m bot traduint automaticament plantilles ← Edició anterior		Revisió del 23:16, 29 març 2010 modifica desfés Amical-bot (discussió \| contribucions) Bots 170.156 edits m bot arreglant traducció automàtica amb les er de Usuari:Amical-bot/Matemàtiques/en Edició següent →
Línia 2: == descripció Informal == [[~~Image~~Fitxer:Tangent-plane.svg\|~~polze~~thumb\|Una representació pictòrica de l'espai de tangent d'un punt senzill ''x'', en una esfera. Un vector en aquest espai de tangent pot representar una velocitat possible a ''x'' . Després de moure's en aquella direcció a un altre punt pròxim, la velocitat d'un seria llavors donada per un vector en l'espai de tangent d'aquell espai de tangent diferent punt un pròxim, no mostrat.]] En LA [[geometria diferencial]], un es pot enganxar a tots els punts ''x'' d'una [[varietat (matemàtiques)\|varietat]] diferenciable un '''espai de tangent''', un [[espai vectorial]] ~~genuí~~real que intuïtivament conté les "direccions" possibles en a través del qual un pot tangencialment passar ''x'' . Els elements de l'espai de tangent es criden '''vectors de tangent''' a ''x'' . Això és una generalització de la idea d'una [[vector (matemàtiques)\|fita vector]] en un espai euclidià. Tots els espais de tangent tenen la [[dimensió d'un espai vectorial\|dimensió]] mateixa, igual a la dimensió de la varietat. Per exemple, si la varietat donada és una 2 [[esfera]], un es pot imaginar l'espai de tangent a un punt com ~~l'avió~~el pla que commou l'esfera en aquell punt i és [[perpendicularitat\|perpendicular]] al radi de l'esfera a través del punt. Més generalment, si es pensa en una varietat donada com una subvarietat [[embedding\|incrustada]] d'[[Espai euclidià]] un pot aparèixer l'espai de tangent a aquesta manera literal. En LA [[geometria algebraica]], per contrast, hi ha una definició intrínseca de '''espai de tangent en un punt P''' d'una [[varietat algebraica\|varietat]] ''V'', allò dóna un espai vectorial de dimensió com a mínim allò de ''V'' . Els punts P en els quals la dimensió és exactament allò de ''V'' són anomenats el '''no-singular''' punts; els altres són '''singular''' punts. Per exemple, una corba que es creua no té una recta tangent única en aquell punt. El singular juga de ''V'' són aquells on la 'prova per ser una varietat' fracassa. Vegi [[Espai de tangent de zariski]]. Línia 20: Suposi ''M'' és un C<sup>''k'' varietat de </sup> ''( k'' ≥; 1) i ''x'' és un punt en ''M'' . Triï una [[carta]] φ; : ''U'' → '''R'''<sup>''n'' </sup> on ''U'' és un [[conjunt obert\|subconjunt obert]] de ''M'' contenint ''x'' . Suposi dues corbes γ<sub>1</sub> : (-1,1) → ''M'' i γ<sub>2</sub> : (-1,1) → ''M'' amb γ<sub>1</sub>(0) = γ<sub>2</sub>(0) = ''x'' són donats tal aquell φ; ∘ γ<sub>1</sub> i φ; ∘ γ<sub>2</sub> són els dos diferenciable a les 0. Llavors el γ<sub>1</sub> i γ<sub>2</sub> s'anomenen ''tangent a les 0'' si els derivats corrents de φ; ∘ γ<sub>1</sub> i φ; ∘ γ<sub>2</sub> a les 0 coincideixen. Això defineix una [[relació d'equivalència]] en tals corbes, i les [[classes d'equivalència]] es coneixen com els vectors de tangent de ''M'' a ''x'' . La classe d'equivalència de la corba γ; és escrit com γ'(0). L'espai de tangent de ''M'' a ''x'', denotat per T<sub>''x'' </sub>''M'', és definit com el conjunt de tots els vectors de tangent; no depèn de l'elecció de la carta φ;. [[~~Image~~Fitxer:Tangentialvektor.svg\|~~polze~~thumb\|deixat\|200px\|L'espai de tangent <math>\scriptstyle T_xM</math> i un vector de tangent <math>\scriptstyle v\in T_xM</math>, al llarg d'un tràveling de corba a través de <math>\scriptstyle x\in M</math>]] Definir les operacions espacials vectorials en T<sub>''x'' </sub>''M'', utilitzem una carta φ; : ''U'' → '''R'''<sup>''n'' </sup> i defineix el [[mapa]] (dφ)<sub>''x'' </sub> : T<sub>''x'' </sub>''M'' →; '''R'''<sup>''n'' </sup> per (dφ)<sub>''x'' </sub>(γ'(0)) = <math>\scriptstyle\frac{d}{dt}</math>(φ; ∘ γ)(0). Resulta que aquest mapa sigui [[funció bijectiva\|bijectiu]] i es pot així ~~utilitzar~~fa servirr per transferir les operacions espacials vectorials de '''R'''<sup>''n'' </sup> sobre a T<sub>''x'' </sub>''M'', girant l'últim a un ''n'' -espai vectorial ~~genuí~~real dimensional. Una altra vegada, un necessita comprovar que aquesta construcció no depèn de la carta particular φ; escollit, i de fet això fa no. === Definició mitjançant derivacions === Línia 31: : <Math>D(fg) = D(f)\cdot g(x) + f(x)\cdot D(g)</math> modeled sobre la [[regla del producte\|regla de producte]] de càlcul. Aquestes derivacions formen un espai vectorial ~~genuí~~real en una conducta natural; això és l'espai de tangent T<sub>''x'' </sub>''M'' . La relació entre els vectors de tangent definits més d'hora i derivacions és de la manera següent: si γ; és una corba amb el vector de tangent γ'(0), llavors la derivació corresponent és ''D'' (ƒ;) = (ƒ ∘ γ)'(0) (on el derivat es pren en el sentit corrent, des de ƒ; ∘ γ és una funció de (-1,1) a '''R'''). Els Generalizations d'aquesta definició són possibles, per exemple a [[varietats complexes]] i [[varietat algebraica\|varietats algebraiques]]. Tanmateix, en comptes de derivacions que examinen ''D'' de la plena àlgebra de funcions, un ha de treballar en canvi a l'altura de [[gèrmens]] de funcions. La raó és que el [[feix d'estructura]] pot no estar BÉ per a tals estructures. Per exemple, ~~deixi~~sia ''X'' ~~ser~~ una varietat algebraica amb [[feix d'estructura]] ''F'' . Llavors l'[[Espai de tangent de zariski]] a un punt ''pàg.'' ∈''X'' és la recollida de ''K'' -derivacions ''D'' :''F'' <sub>p</sub>→''K'', on ''K'' és el [[groundfield]] i ''F'' <sub>p</sub> és la tija de ''F'' a ''pàg.'' . === Definició via l'espai de cotangent === Línia 69: : <Math> \mathrm d\varphi_x(X)(f) = X(f\circ \varphi).</math>.. El mapa lineal d''φ;'' <sub>''x'' </sub> és anomenat diversament el ''derivat'', ''derivat total'', ''diferencial'', o ''pushforward'' de ''φ;'' a ''x'' . S'expressa freqüentment ~~utilitzant~~fa servirnt una varietat d'unes altres notacions: : <Math> D\varphi_x,\quad (\varphi_*)_x,\quad \varphi'(x).</math>.. En certa manera, el derivat és la millor aproximació lineal a ''φ;'' prop de ''x'' . Bitllet que quan ''N'' = '''R''', el mapa d''φ;'' <sub>''x'' </sub> : T<sub>''x'' </sub>''M'' →'''R''' coincideix amb la idea habitual del [[Diferencial d'una funció\|diferencial]] de la funció ''φ;'' . En [[coordenades locals]] el derivat de ƒ; és donat prop del [[Jacobià\|Jacobian]]. Un resultat important quant al mapa derivat és el seguir: : '''Teorema'''. Si ''φ;'' : ''M'' → ''N'' és un [[difeomorfisme local\|diffeomorphism local]] a ''x'' en ''M'' llavors d''φ;'' <sub>''x'' </sub> : T<sub>''x'' </sub>''M'' →; T<sub>''φ;'' (''x'') </sub>''N'' és un [[isomorfisme]] lineal. Al contrari, si d''φ;'' <sub>''x'' </sub> és un isomorfisme llavors hi ha un [[conjunt obert\|barri obert]] ''U'' de ''x'' tal ~~allò~~que ''φ;'' mapes ''U'' diffeomorphically a la seva imatge. Això és una generalització del [[teorema de la funció inversa\|teorema de funció invers]] a mapes entre varietats.

Espai tangent: diferència entre les revisions