Espai tangent: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m bot arreglant traducció automàtica amb les er de Usuari:Amical-bot/Matemàtiques/en |
m bot intercalant text original amb text traduït |
||
Línia 1:
{{Traducció|en|Tangent space}}
In [[mathematics]], the '''tangent space''' of a [[manifold]] is a concept which facilitates the generalization of vectors from [[affine space]]s to general manifolds, since in the latter case one cannot simply subtract two points to obtain a vector pointing from one to the other.
En [[matemàtiques]], el '''espai de tangent''' d'una [[varietat (matemàtiques)|varietat]] és un concepte que facilita la generalització de vectors des d'[[espai afí|espais afins]] a varietats generals, ja que en l'últim cas un no en pot simplement restar dos assenyala per obtenir un vector que juga d'un a l'altre.
== Informal description ==
== descripció Informal ==
[[Image:Tangent-plane.svg|thumb|A pictorial representation of the tangent space of a single point, ''x'', on a sphere. A vector in this tangent space can represent a possible velocity at ''x''. After moving in that direction to another nearby point, one's velocity would then be given by a vector in the tangent space of that nearby point—a different tangent space, not shown.]]
[[Fitxer:Tangent-plane.svg|thumb|Una representació pictòrica de l'espai de tangent d'un punt senzill ''x'', en una esfera. Un vector en aquest espai de tangent pot representar una velocitat possible a ''x'' . Després de moure's en aquella direcció a un altre punt pròxim, la velocitat d'un seria llavors donada per un vector en l'espai de tangent d'aquell espai de tangent diferent punt un pròxim, no mostrat.]]
In [[differential geometry]], one can attach to every point ''x'' of a differentiable [[manifold]] a '''tangent space''', a real [[vector space]] which intuitively contains the possible "directions" in which one can tangentially pass through ''x''. The elements of the tangent space are called '''tangent vectors''' at ''x''. This is a generalization of the notion of a [[bound vector]] in a Euclidean space. All the tangent spaces have the same [[dimension of a vector space|dimension]], equal to the dimension of the manifold.
En LA [[geometria diferencial]], un es pot enganxar a tots els punts ''x'' d'una [[varietat (matemàtiques)|varietat]] diferenciable un '''espai de tangent''', un [[espai vectorial]] real que intuïtivament conté les "direccions" possibles en a través del qual un pot tangencialment passar ''x'' . Els elements de l'espai de tangent es criden '''vectors de tangent''' a ''x'' . Això és una generalització de la idea d'una [[vector (matemàtiques)|fita vector]] en un espai euclidià. Tots els espais de tangent tenen la [[dimensió d'un espai vectorial|dimensió]] mateixa, igual a la dimensió de la varietat.
For example, if the given manifold is a 2-[[sphere]], one can picture the tangent space at a point as the plane which touches the sphere at that point and is [[perpendicular]] to the sphere's radius through the point. More generally, if a given manifold is thought of as an [[embedding|embedded]] submanifold of [[Euclidean space]] one can picture the tangent space in this literal fashion.
Per exemple, si la varietat donada és una 2 [[esfera]], un es pot imaginar l'espai de tangent a un punt com el pla que commou l'esfera en aquell punt i és [[perpendicularitat|perpendicular]] al radi de l'esfera a través del punt. Més generalment, si es pensa en una varietat donada com una subvarietat [[embedding|incrustada]] d'[[Espai euclidià]] un pot aparèixer l'espai de tangent a aquesta manera literal.
In [[algebraic geometry]], in contrast, there is an intrinsic definition of '''tangent space at a point P''' of a [[algebraic variety|variety]] ''V'', that gives a vector space of dimension at least that of ''V''. The points P at which the dimension is exactly that of ''V'' are called the '''non-singular''' points; the others are '''singular''' points. For example, a curve that crosses itself doesn't have a unique tangent line at that point. The singular points of ''V'' are those where the 'test to be a manifold' fails. See [[Zariski tangent space]].
En LA [[geometria algebraica]], per contrast, hi ha una definició intrínseca de '''espai de tangent en un punt P''' d'una [[varietat algebraica|varietat]] ''V'', allò dóna un espai vectorial de dimensió com a mínim allò de ''V'' . Els punts P en els quals la dimensió és exactament allò de ''V'' són anomenats el '''no-singular''' punts; els altres són '''singular''' punts. Per exemple, una corba que es creua no té una recta tangent única en aquell punt. El singular juga de ''V'' són aquells on la 'prova per ser una varietat' fracassa. Vegi [[Espai de tangent de zariski]].
Once tangent spaces have been introduced, one can define [[vector field]]s, which are abstractions of the velocity field of particles moving on a manifold. A vector field attaches to every point of the manifold a vector from the tangent space at that point, in a smooth manner. Such a vector field serves to define a generalized [[ordinary differential equation]] on a manifold: a solution to such a differential equation is a differentiable [[curve]] on the manifold whose derivative at any point is equal to the tangent vector attached to that point by the vector field.
Una vegada que s'han introduït espais de tangent, un pot definir [[camp vectorial|camps vectorials]], que són abstraccions del camp de velocitat de partícules que es mouen en una varietat. Un camp vectorial s'enganxa a tots els punts de la varietat un vector des de l'espai de tangent en aquell punt, en una conducta llisa. Tal camp vectorial serveix per definir una [[equació diferencial ordinària|equació diferencial corrent]] generalitzada en una varietat: una solució a una equació tan diferencial és una [[corba]] diferenciable en la varietat el derivat del qual en qualsevol punt és igual al vector de tangent adjuntat a aquell punt pel camp vectorial.
All the tangent spaces can be "glued together" to form a new differentiable manifold of twice the dimension, the [[tangent bundle]] of the manifold.
Tots els espais de tangent es poden "enganxar" per formar una varietat diferenciable nova de dues vegades la dimensió, el [[fibrat tangent|farcell de tangent]] de la varietat.
== Formal definitions ==
== definicions Formals ==
There are various equivalent ways of defining the tangent spaces of a manifold. While the definition via directions of curves is quite straightforward given the above intuition, it is also the most cumbersome to work with. More elegant and abstract approaches are described below.
Hi ha diverses maneres equivalents de definir els espais de tangent d'una varietat. Mentre que la definició mitjançant direccions de corbes és bastant sincera donat la intuïció citada, és també el més feixuc treballar amb. Més aproximacions elegants i abstractes es descriuen sota.
=== Definition as directions of curves ===
=== Definició com direccions de corbes ===
Suppose ''M'' is a C<sup>''k''</sup> manifold (''k'' ≥ 1) and ''x'' is a point in ''M''. Pick a [[chart (topology)|chart]] φ : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup> where ''U'' is an [[open set|open subset]] of ''M'' containing ''x''. Suppose two curves γ<sub>1</sub> : (-1,1) → ''M'' and γ<sub>2</sub> : (-1,1) → ''M'' with γ<sub>1</sub>(0) = γ<sub>2</sub>(0) = ''x'' are given such that φ ∘ γ<sub>1</sub> and φ ∘ γ<sub>2</sub> are both differentiable at 0. Then γ<sub>1</sub> and γ<sub>2</sub> are called ''tangent at 0'' if the ordinary derivatives of φ ∘ γ<sub>1</sub> and φ ∘ γ<sub>2</sub> at 0 coincide. This defines an [[equivalence relation]] on such curves, and the [[equivalence class]]es are known as the tangent vectors of ''M'' at ''x''. The equivalence class of the curve γ is written as γ'(0). The tangent space of ''M'' at ''x'', denoted by T<sub>''x''</sub>''M'', is defined as the set of all tangent vectors; it does not depend on the choice of chart φ.
Suposi ''M'' és un C<sup>''k'' varietat de </sup> ''( k'' ≥; 1) i ''x'' és un punt en ''M'' . Triï una [[carta]] φ; : ''U'' → '''R'''<sup>''n'' </sup> on ''U'' és un [[conjunt obert|subconjunt obert]] de ''M'' contenint ''x'' . Suposi dues corbes γ<sub>1</sub> : (-1,1) → ''M'' i γ<sub>2</sub> : (-1,1) → ''M'' amb γ<sub>1</sub>(0) = γ<sub>2</sub>(0) = ''x'' són donats tal aquell φ; ∘ γ<sub>1</sub> i φ; ∘ γ<sub>2</sub> són els dos diferenciable a les 0. Llavors el γ<sub>1</sub> i γ<sub>2</sub> s'anomenen ''tangent a les 0'' si els derivats corrents de φ; ∘ γ<sub>1</sub> i φ; ∘ γ<sub>2</sub> a les 0 coincideixen. Això defineix una [[relació d'equivalència]] en tals corbes, i les [[classes d'equivalència]] es coneixen com els vectors de tangent de ''M'' a ''x'' . La classe d'equivalència de la corba γ; és escrit com γ'(0). L'espai de tangent de ''M'' a ''x'', denotat per T<sub>''x'' </sub>''M'', és definit com el conjunt de tots els vectors de tangent; no depèn de l'elecció de la carta φ;.
[[Image:Tangentialvektor.svg|thumb|left|200px|The tangent space <math>\scriptstyle T_xM</math> and a tangent vector <math>\scriptstyle v\in T_xM</math>, along a curve traveling through <math>\scriptstyle x\in M</math>]]
[[Fitxer:Tangentialvektor.svg|thumb|deixat|200px|L'espai de tangent <math>\scriptstyle T_xM</math> i un vector de tangent <math>\scriptstyle v\in T_xM</math>, al llarg d'un tràveling de corba a través de <math>\scriptstyle x\in M</math>]]
To define the vector space operations on T<sub>''x''</sub>''M'', we use a chart φ : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup> and define the [[Map (mathematics)|map]] (dφ)<sub>''x''</sub> : T<sub>''x''</sub>''M'' → '''R'''<sup>''n''</sup> by (dφ)<sub>''x''</sub>(γ'(0)) = <math>\scriptstyle\frac{d}{dt}</math>(φ ∘ γ)(0). It turns out that this map is [[bijective]] and can thus be used to transfer the vector space operations from '''R'''<sup>''n''</sup> over to T<sub>''x''</sub>''M'', turning the latter into an ''n''-dimensional real vector space. Again, one needs to check that this construction does not depend on the particular chart φ chosen, and in fact it does not.
Definir les operacions espacials vectorials en T<sub>''x'' </sub>''M'', utilitzem una carta φ; : ''U'' → '''R'''<sup>''n'' </sup> i defineix el [[mapa]] (dφ)<sub>''x'' </sub> : T<sub>''x'' </sub>''M'' →; '''R'''<sup>''n'' </sup> per (dφ)<sub>''x'' </sub>(γ'(0)) = <math>\scriptstyle\frac{d}{dt}</math>(φ; ∘ γ)(0). Resulta que aquest mapa sigui [[funció bijectiva|bijectiu]] i es pot així fa servirr per transferir les operacions espacials vectorials de '''R'''<sup>''n'' </sup> sobre a T<sub>''x'' </sub>''M'', girant l'últim a un ''n'' -espai vectorial real dimensional. Una altra vegada, un necessita comprovar que aquesta construcció no depèn de la carta particular φ; escollit, i de fet això fa no.
=== Definition via derivations ===
=== Definició mitjançant derivacions ===
Suppose ''M'' is a C<sup>∞</sup> manifold. A real-valued function ƒ: ''M'' → '''R''' belongs to C<sup>∞</sup>(''M'') if ƒ ∘ φ<sup>−1</sup> is infinitely often differentiable for every chart φ : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup>. C<sup>∞</sup>(''M'') is a real [[associative algebra]] for the [[pointwise product]] and sum of functions and scalar multiplication.
Suposi ''M'' és una varietat de C<sup>∞</sup>. Una funció genuïnament valorada ƒ;: ''M'' → '''R''' pertany a C<sup>∞</sup>(''M'') si ƒ; ∘ φ<sup>−1</sup> és infinitament sovint diferenciable per a totes les cartes φ; : ''U'' → '''R'''<sup>''n'' </sup>. C<sup>∞</sup>(''M'') és una [[àlgebra associativa]] genuïna per al [[producte de pointwise]] i suma de funcions i multiplicació escalar.
Pick a point ''x'' in ''M''. A ''[[Derivation (abstract algebra)|derivation]]'' at ''x'' is a [[linear map]] ''D'' : C<sup>∞</sup>(''M'') → '''R''' which has the property that for all ƒ, ''g'' in C<sup>∞</sup>(''M''):
Triï un punt ''x'' en ''M'' . Un ''[[derivació]]'' a ''x'' és un [[mapa lineal]] ''D'' : C<sup>∞</sup>(''M'') →; '''R''' que té la propietat allò per a tot el ƒ;, ''g'' en C<sup>∞</sup>(''M'') :
:<math>D(fg) = D(f)\cdot g(x) + f(x)\cdot D(g)</math>
modeled on the [[product rule]] of calculus. These derivations form a real vector space in a natural manner; this is the tangent space T<sub>''x''</sub>''M''.
modeled sobre la [[regla del producte|regla de producte]] de càlcul. Aquestes derivacions formen un espai vectorial real en una conducta natural; això és l'espai de tangent T<sub>''x'' </sub>''M'' .
The relation between the tangent vectors defined earlier and derivations is as follows: if γ is a curve with tangent vector γ'(0), then the corresponding derivation is ''D''(ƒ) = (ƒ ∘ γ)'(0) (where the derivative is taken in the ordinary sense, since ƒ ∘ γ is a function from (-1,1) to '''R''').
La relació entre els vectors de tangent definits més d'hora i derivacions és de la manera següent: si γ; és una corba amb el vector de tangent γ'(0), llavors la derivació corresponent és ''D'' (ƒ;) = (ƒ ∘ γ)'(0) (on el derivat es pren en el sentit corrent, des de ƒ; ∘ γ és una funció de (-1,1) a '''R''').
Generalizations of this definition are possible, for instance to [[complex manifold]]s and [[algebraic variety|algebraic varieties]]. However, instead of examining derivations ''D'' from the full algebra of functions, one must instead work at the level of [[germ (mathematics)|germs]] of functions. The reason is that the [[structure sheaf]] may not be [[injective sheaf|fine]] for such structures. For instance, let ''X'' be an algebraic variety with [[structure sheaf]] ''F''. Then the [[Zariski tangent space]] at a point ''p''∈''X'' is the collection of ''K''-derivations ''D'':''F''<sub>p</sub>→''K'', where ''K'' is the [[groundfield]] and ''F''<sub>p</sub> is the stalk of ''F'' at ''p''.
Els Generalizations d'aquesta definició són possibles, per exemple a [[varietats complexes]] i [[varietat algebraica|varietats algebraiques]]. Tanmateix, en comptes de derivacions que examinen ''D'' de la plena àlgebra de funcions, un ha de treballar en canvi a l'altura de [[gèrmens]] de funcions. La raó és que el [[feix d'estructura]] pot no estar BÉ per a tals estructures. Per exemple, sia ''X'' una varietat algebraica amb [[feix d'estructura]] ''F'' . Llavors l'[[Espai de tangent de zariski]] a un punt ''pàg.'' ∈''X'' és la recollida de ''K'' -derivacions ''D'' :''F'' <sub>p</sub>→''K'', on ''K'' és el [[groundfield]] i ''F'' <sub>p</sub> és la tija de ''F'' a ''pàg.'' .
=== Definition via the cotangent space ===
=== Definició via l'espai de cotangent ===
Again we start with a C<sup>∞</sup> manifold, ''M'', and a point, ''x'', in ''M''. Consider the [[ideal (ring theory)|ideal]], ''I'', in C<sup>∞</sup>(''M'') consisting of all functions, ƒ, such that ƒ(''x'') = 0. Then ''I'' and ''I''<sup> 2</sup> are real vector spaces, and T<sub>''x''</sub>''M'' may be defined as the [[dual space]] of the [[quotient space (linear algebra)|quotient space]] ''I'' / ''I''<sup> 2</sup>. This latter quotient space is also known as the [[cotangent space]] of ''M'' at ''x''.
Una altra vegada comencem amb una varietat de C<sup>∞</sup>, ''M'', i un punt, ''x'', en ''M'' . Consideri l'[[ideal (matemàtiques)|ideal]], ''jo'', en C<sup>∞</sup>(''M'') constant de totes les funcions, ƒ;, tal aquell ƒ(''x'') = 0. Llavors ''jo'' i ''jo'' <sup> 2</sup> són espais vectorials genuïns, i T<sub>''x'' </sub>''M'' pot ser definit com l'[[estructures lineals duals|espai doble]] de l'[[espai quocient (àlgebra lineal)|espai quocient]] ''jo'' / ''jo'' <sup> 2</sup>. Aquest últim espai quocient és also known as l'[[espai de cotangent]] de ''M'' a ''x'' .
While this definition is the most abstract, it is also the one most easily transferred to other settings, for instance to the [[algebraic variety|varieties]] considered in [[algebraic geometry]].
Mentre aquesta definició és el més abstracte, és també aquell que molts fàcilment transferien a unes altres escenes, per exemple a les [[varietat algebraica|varietats]] consideraven en LA [[geometria algebraica]].
If ''D'' is a derivation, then ''D''(ƒ) = 0 for every ƒ in ''I''<sup>2</sup>, and this means that ''D'' gives rise to a linear map ''I'' / ''I''<sup>2</sup> → '''R'''. Conversely, if ''r'' : ''I'' / ''I''<sup>2</sup> → '''R''' is a linear map, then ''D''(ƒ) = ''r''((ƒ - ƒ(''x'')) + ''I''<sup> 2</sup>) is a derivation. This yields the correspondence between the tangent space defined via derivations and the tangent space defined via the cotangent space.
Si ''D'' és una derivació, llavors ''D'' (ƒ;) = 0 per a tots els ƒ; en ''jo'' <sup>2</sup>, i aquest mitjà allò ''D'' dóna aconseguir un mapa lineal ''jo'' / ''jo'' <sup>2</sup> →; '''R'''. Al contrari, si ''r'' : ''jo'' / ''jo'' <sup>2</sup> →; '''R''' és un mapa lineal, llavors ''D'' (ƒ;) = ''r'' ''ƒ - ƒ(''x'') ) + (( jo'' <sup> 2</sup>) és una derivació. Això produeix la correspondència entre l'espai de tangent definit mitjançant derivacions i l'espai de tangent definit via l'espai de cotangent.
== Properties ==
== Propietats ==
If ''M'' is an open subset of '''R'''<sup>''n''</sup>, then ''M'' is a C<sup>∞</sup> manifold in a natural manner (take the charts to be the [[Identity function|identity maps]]), and the tangent spaces are all naturally identified with '''R'''<sup>''n''</sup>.
Si ''M'' és un subconjunt obert de '''R'''<sup>''n'' </sup>, llavors ''M'' és una varietat de C<sup>∞</sup> en una conducta natural (consideri que les cartes són els [[Funció identitat|mapes d'identitat)]], i els espais de tangent tots naturalment són identificats amb '''R'''<sup>''n'' </sup>.
=== Tangent vectors as directional derivatives ===
=== vectors de Tangent com derivats direccionals ===
One way to think about tangent vectors is as [[directional derivative]]s. Given a vector ''v'' in '''R'''<sup>''n''</sup> one defines the directional derivative of a smooth map ƒ: '''R'''<sup>''n''</sup>→'''R''' at a point ''x'' by
Una manera de pensar en vectors de tangent és com [[derivada direccional|derivats direccionals]]. Donat un vector ''v'' en '''R'''<sup>''n'' </sup> un defineix el derivat direccional d'un mapa llis ƒ;: '''R'''<sup>''n'' </sup>→'''R''' a un punt ''x'' per
:
This map is naturally a derivation. Moreover, it turns out that every derivation of C<sup>∞</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) is of this form. So there is a one-to-one map between vectors (thought of as tangent vectors at a point) and derivations.
Aquest mapa és naturalment una derivació. A més, es presenta que totes les derivacions de C<sup>∞</sup>'''( R'''<sup>''n'' </sup>) és d'aquesta forma. Així hi ha un mapa exacte entre vectors (pensat en ells com vectors de tangent a un punt) i derivacions.
Since tangent vectors to a general manifold can be defined as derivations it is natural to think of them as directional derivatives. Specifically, if ''v'' is a tangent vector of ''M'' at a point ''x'' (thought of as a derivation) then define the directional derivative in the direction ''v'' by
Des de vectors de tangent a una varietat general poden ser definits com derivacions que és natural pensar-ne com derivats direccionals. Específicament, si ''v'' és un vector de tangent de ''M'' a un punt ''x'' (pensat en com a derivació) llavors definir el derivat direccional en la direcció ''v'' per
:
where ƒ: ''M'' → '''R''' is an element of C<sup>∞</sup>(''M'').
on ƒ;: ''M'' → '''R''' és un element de C<sup>∞</sup>(''M'') .
If we think of ''v'' as the direction of a curve, ''v'' = γ'(0), then we write
Si pensem de ''v'' com la direcció d'una corba, ''v'' = γ'(0), llavors escrivim
:
=== The derivative of a map ===
=== El derivat d'un mapa ===
{{main|Pushforward (differential)}}
{{Principal|Pushforward (diferencial)}}
Every smooth (or differentiable) map ''φ'' : ''M'' → ''N'' between smooth (or differentiable) manifolds induces natural [[linear map]]s between the corresponding tangent spaces:
Cada mapa llis (o diferenciable) ''φ;'' : ''M'' → ''N'' entre varietats llises (o diferenciable) indueix [[mapes lineals]] naturals entre els espais de tangent corresponents:
:
If the tangent space is defined via curves, the map is defined as
Si l'espai de tangent es defineix via corbes, el mapa es defineix com
:
If instead the tangent space is defined via derivations, then
Si en canvi l'espai de tangent es defineix mitjançant derivacions, llavors
:
The linear map d''φ''<sub>''x''</sub> is called variously the ''derivative'', ''total derivative'', ''differential'', or ''pushforward'' of ''φ'' at ''x''. It is frequently expressed using a variety of other notations:
El mapa lineal d''φ;'' <sub>''x'' </sub> és anomenat diversament el ''derivat'', ''derivat total'', ''diferencial'', o ''pushforward'' de ''φ;'' a ''x'' . S'expressa freqüentment fa servirnt una varietat d'unes altres notacions:
:
In a sense, the derivative is the best linear approximation to ''φ'' near ''x''. Note that when ''N'' = '''R''', the map d''φ''<sub>''x''</sub> : T<sub>''x''</sub>''M''→'''R''' coincides with the usual notion of the [[Differential (calculus)|differential]] of the function ''φ''. In [[local coordinates]] the derivative of ƒ is given by the [[Jacobian matrix and determinant|Jacobian]].
En certa manera, el derivat és la millor aproximació lineal a ''φ;'' prop de ''x'' . Bitllet que quan ''N'' = '''R''', el mapa d''φ;'' <sub>''x'' </sub> : T<sub>''x'' </sub>''M'' →'''R''' coincideix amb la idea habitual del [[Diferencial d'una funció|diferencial]] de la funció ''φ;'' . En [[coordenades locals]] el derivat de ƒ; és donat prop del [[Jacobià|Jacobian]].
An important result regarding the derivative map is the following:
Un resultat important quant al mapa derivat és el seguir:
:'''Theorem'''. If ''φ'' : ''M'' → ''N'' is a [[local diffeomorphism]] at ''x'' in ''M'' then d''φ''<sub>''x''</sub> : T<sub>''x''</sub>''M'' → T<sub>''φ''(''x'')</sub>''N'' is a linear [[isomorphism]]. Conversely, if d''φ''<sub>''x''</sub> is an isomorphism then there is an [[open set|open neighborhood]] ''U'' of ''x'' such that ''φ'' maps ''U'' diffeomorphically onto its image.
: '''Teorema'''. Si ''φ;'' : ''M'' → ''N'' és un [[difeomorfisme local|diffeomorphism local]] a ''x'' en ''M'' llavors d''φ;'' <sub>''x'' </sub> : T<sub>''x'' </sub>''M'' →; T<sub>''φ;'' (''x'') </sub>''N'' és un [[isomorfisme]] lineal. Al contrari, si d''φ;'' <sub>''x'' </sub> és un isomorfisme llavors hi ha un [[conjunt obert|barri obert]] ''U'' de ''x'' tal que ''φ;'' mapes ''U'' diffeomorphically a la seva imatge.
This is a generalization of the [[inverse function theorem]] to maps between manifolds.
Això és una generalització del [[teorema de la funció inversa|teorema de funció invers]] a mapes entre varietats.
== References ==
== Referències ==
* {{citation|first=Peter W.|last=Michor|title=Topics in Differential Geometry|series=Graduate Studies in Mathematics|volume=Vol. 93|publisher=American Mathematical Society|publication-place=Providence|year=2008}} (''to appear'').
* {{Ref-llibre|first = Peter W.|last = Michor|títol = Topics in Differential Geometry|series = Graduate Studies in Mathematics|volume = Vol. 93|editorial = American Mathematical Society|publication-place = Providence|any = 2008}} (''aparèixer'') .
* {{Citation | last1=Spivak | first1=Michael | author1-link=Michael Spivak | title=Calculus on Manifolds | publisher=[[HarperCollins]] | isbn=978-0-8053-9021-6 | year=1965}}
* {{Ref-llibre|cognom = Spivak |nom = Michael |enllaçautor = Michael Spivak |títol = Calculus on Manifolds |editorial = [[HarperCollins]] |isbn = 978-0-8053-9021-6 |any = 1965}}
== External links ==
== enllaços Externs ==
* [http://mathworld.wolfram.com/TangentPlane.html Tangent Planes] at MathWorld
* [Avions de Tangent de http://mathworld.wolfram.com/TangentPlane.html] a MathWorld
{{DEFAULTSORT:Tangent Space}}
{{DEFAULTSORT:Tangent Space}}
[[Category:Differential topology]]
[[Category:Differential geometry]]
[[da:Tangentrum]]
[[de:Tangentialraum]]
[[es:Espacio tangente]]
[[
[[it:Spazio tangente]]
[[
[[nl:Raakruimte]]
[[ja:接ベクトル空間]]
[[pl:
[[pt:Espaço tangente]]
[[ru:Касательное пространство]]
[[fi:Tangenttiavaruus]]
[[sv:Tangentrum]]
[[uk:Дотичний простір]]
[[zh:切空间]]
[[en:Tangent space]]
| |||