|
=== Definició com direccions de corbes ===
Suppose ''M'' is a C<sup>''k''</sup> manifold (''k'' ≥ 1) and ''x'' is a point in ''M''. Pick a [[chart (topology)|chart]] φ : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup> where ''U'' is an [[open set|open subset]] of ''M'' containing ''x''. Suppose two curves γ<sub>1</sub> : (-1,1) → ''M'' and γ<sub>2</sub> : (-1,1) → ''M'' with γ<sub>1</sub>(0) = γ<sub>2</sub>(0) = ''x'' are given such that φ ∘ γ<sub>1</sub> and φ ∘ γ<sub>2</sub> are both differentiable at 0. Then γ<sub>1</sub> and γ<sub>2</sub> are called ''tangent at 0'' if the ordinary derivatives of φ ∘ γ<sub>1</sub> and φ ∘ γ<sub>2</sub> at 0 coincide. This defines an [[equivalence relation]] on such curves, and the [[equivalence class]]es are known as the tangent vectors of ''M'' at ''x''. The equivalence class of the curve γ is written as γ'(0). The tangent space of ''M'' at ''x'', denoted by T<sub>''x''</sub>''M'', is defined as the set of all tangent vectors; it does not depend on the choice of chart φ.
SuposiSuposeu que ''M'' és ununa varietat C<sup>''k'' varietat de </sup> ''( k'' ≥; 1) i ''x'' és un punt en ''M'' . TriïEs unatria un [[Varietat (matemàtiques)#Cartes|carta]] φ; : ''U'' → '''R'''<sup>''n'' </sup> on ''U'' és un [[conjunt obert|subconjunt obert]] de ''M'' contenintque conté ''x'' . SuposiSuposeu dues corbes γ<sub>1</sub> : (-1,1) → ''M'' i γ<sub>2</sub> : (-1,1) → ''M'' amb γ<sub>1</sub>(0) = γ<sub>2</sub>(0) = ''x'' són donatsdonades taltals aquellque φ; ∘ γ<sub>1</sub> i φ; ∘ γ<sub>2</sub> són elsles dosdues diferenciablediferenciables a les 0. Llavors el γ<sub>1</sub> i γ<sub>2</sub> s'anomenen ''tangenttangents a les 0'' si elsles derivatsderivades correntsordinàries de φ; ∘ γ<sub>1</sub> i φ; ∘ γ<sub>2</sub> a les 0 coincideixen. Això defineix una [[relació d'equivalència]] en tals corbes, i les [[classes d'equivalència]] es coneixen com els vectors tangenttangents de ''M'' a ''x'' . La classe d'equivalència de la corba γ; és escrits'escriu com γ'(0). L'espai tangent de ''M'' a ''x'', denotatnotat per T<sub>''x'' </sub>''M'', éses definitdefineix com el conjunt de tots els vectors tangent; no depèn de l'elecció de la carta φ;.
[[Fitxer:Tangentialvektor.svg|thumb|deixat|200px|L'espai tangent <math>\scriptstyle T_xM</math> i un vector tangent <math>\scriptstyle v\in T_xM</math>, al llarg d' ununa tràvelingcorba deque corbapassa a través de <math>\scriptstyle x\in M</math>]] ▼
DefinirPer definir les operacions espacialsde vectorialsl'espai vectorial en T<sub>''x'' </sub>''M'', utilitzemes fa servir una carta φ ; : ''U'' → '''R'''<sup>''n'' </sup> i es defineix ella [[ mapafunció matemàtica|funció]] (dφ)<sub>''x'' </sub> : T<sub>''x'' </sub>''M'' → ; '''R'''<sup>''n'' </sup> per (dφ)<sub>''x'' </sub>(γ'(0)) = <math>\scriptstyle\frac{d}{dt}</math>(φ ; ∘ γ)(0). Resulta que aquestaquesta mapafunció siguiés [[funció bijectiva| bijectiubijectiva]] i per tant es pot aixífer fa servirrservir per transferir les operacions espacialsd'espai vectorialsvectorial de '''R'''<sup>''n'' </sup> sobrecap a T<sub>''x'' </sub>''M'', girantconvertint aquest l'últim aen un espai vectorial real ''n'' - espai vectorial real dimensional. Una altra vegada, un necessitacal comprovar que aquesta construcció no depèn de la carta particular φ ; escollitescollida, i de fet aixòno faen nodepèn. ▼
[[Image:Tangentialvektor.svg|thumb|left|200px|The tangent space <math>\scriptstyle T_xM</math> and a tangent vector <math>\scriptstyle v\in T_xM</math>, along a curve traveling through <math>\scriptstyle x\in M</math>]]
▲[[Fitxer:Tangentialvektor.svg|thumb|deixat|200px|L'espai tangent <math>\scriptstyle T_xM</math> i un vector tangent <math>\scriptstyle v\in T_xM</math>, al llarg d'un tràveling de corba a través de <math>\scriptstyle x\in M</math>]]
To define the vector space operations on T<sub>''x''</sub>''M'', we use a chart φ : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup> and define the [[Map (mathematics)|map]] (dφ)<sub>''x''</sub> : T<sub>''x''</sub>''M'' → '''R'''<sup>''n''</sup> by (dφ)<sub>''x''</sub>(γ'(0)) = <math>\scriptstyle\frac{d}{dt}</math>(φ ∘ γ)(0). It turns out that this map is [[bijective]] and can thus be used to transfer the vector space operations from '''R'''<sup>''n''</sup> over to T<sub>''x''</sub>''M'', turning the latter into an ''n''-dimensional real vector space. Again, one needs to check that this construction does not depend on the particular chart φ chosen, and in fact it does not.
▲Definir les operacions espacials vectorials en T<sub>''x'' </sub>''M'', utilitzem una carta φ; : ''U'' → '''R'''<sup>''n'' </sup> i defineix el [[mapa]] (dφ)<sub>''x'' </sub> : T<sub>''x'' </sub>''M'' →; '''R'''<sup>''n'' </sup> per (dφ)<sub>''x'' </sub>(γ'(0)) = <math>\scriptstyle\frac{d}{dt}</math>(φ; ∘ γ)(0). Resulta que aquest mapa sigui [[funció bijectiva|bijectiu]] i es pot així fa servirr per transferir les operacions espacials vectorials de '''R'''<sup>''n'' </sup> sobre a T<sub>''x'' </sub>''M'', girant l'últim a un ''n'' -espai vectorial real dimensional. Una altra vegada, un necessita comprovar que aquesta construcció no depèn de la carta particular φ; escollit, i de fet això fa no.
=== Definició mitjançant derivacions ===
| 