|
=== Definició via l'espai cotangent ===
Again we start with a C<sup>∞</sup> manifold, ''M'', and a point, ''x'', in ''M''. Consider the [[ideal (ring theory)|ideal]], ''I'', in C<sup>∞</sup>(''M'') consisting of all functions, ƒ, such that ƒ(''x'') = 0. Then ''I'' and ''I''<sup> 2</sup> are real vector spaces, and T<sub>''x''</sub>''M'' may be defined as the [[dual space]] of the [[quotient space (linear algebra)|quotient space]] ''I'' / ''I''<sup> 2</sup>. This latter quotient space is also known as the [[cotangent space]] of ''M'' at ''x''.
Una altra vegada comencemes comença amb una varietat de C<sup>∞</sup>, ''M'', i un punt, ''x'', ende ''M'' . ConsideriEs considera l'[[ideal (matemàtiques)|ideal]], ''joI'', en C<sup>∞</sup>(''M'') constantque consta de totes les funcions, ƒ;, taltals aquellque ƒ(''x'') = 0. Llavors ''joI'' i ''joI'' <sup> 2</sup> són espais vectorials genuïnsreals, i T<sub>''x'' </sub>''M'' es pot ser definitdefinir com l'[[estructures lineals duals|espai dobledual]] de l'[[espai quocient (àlgebra lineal)|espai quocient]] ''joI'' / ''joI'' <sup> 2</sup>. Aquest últim espai quocient éstambé alsoes knownconeix ascom l'[[espai de cotangent]] de ''M'' a ''x'' .
Mentre aquesta definició és ells més abstracte, és també aquellla que moltsmés fàcilment transferienes transfereix a unes altres escenes, per exemple a les [[varietat algebraica|varietats]] consideravenconsiderades en LA [[geometria algebraica]]. ▼
Si ''D'' és una derivacióderivada, llavors ''D'' (ƒ ;) = 0 per a tots els ƒ ; ende '' joI'' <sup>2</sup>, i aquestaixó vol mitjàdir allòque ''D'' dóna aconseguirlloc una una mapaaplicació lineal '' joI'' / '' joI'' <sup>2</sup> → ; '''R'''. Al contrariRecíprocament, si ''r'' : '' joI'' / '' joI'' <sup>2</sup> → ; '''R''' és ununa mapaaplicació lineal, llavors ''D'' (ƒ ;) = ''r'' ((''ƒ - ƒ(''x'') ) + (( jo''I'' <sup> 2</sup>) és una derivacióderivada. Això produeix la correspondència entre l'espai tangent definit mitjançant derivacionsderivades i l'espai tangent definit via l'espai de cotangent. ▼
While this definition is the most abstract, it is also the one most easily transferred to other settings, for instance to the [[algebraic variety|varieties]] considered in [[algebraic geometry]].
▲Mentre aquesta definició és el més abstracte, és també aquell que molts fàcilment transferien a unes altres escenes, per exemple a les [[varietat algebraica|varietats]] consideraven en LA [[geometria algebraica]].
If ''D'' is a derivation, then ''D''(ƒ) = 0 for every ƒ in ''I''<sup>2</sup>, and this means that ''D'' gives rise to a linear map ''I'' / ''I''<sup>2</sup> → '''R'''. Conversely, if ''r'' : ''I'' / ''I''<sup>2</sup> → '''R''' is a linear map, then ''D''(ƒ) = ''r''((ƒ - ƒ(''x'')) + ''I''<sup> 2</sup>) is a derivation. This yields the correspondence between the tangent space defined via derivations and the tangent space defined via the cotangent space.
▲Si ''D'' és una derivació, llavors ''D'' (ƒ;) = 0 per a tots els ƒ; en ''jo'' <sup>2</sup>, i aquest mitjà allò ''D'' dóna aconseguir un mapa lineal ''jo'' / ''jo'' <sup>2</sup> →; '''R'''. Al contrari, si ''r'' : ''jo'' / ''jo'' <sup>2</sup> →; '''R''' és un mapa lineal, llavors ''D'' (ƒ;) = ''r'' ''ƒ - ƒ(''x'') ) + (( jo'' <sup> 2</sup>) és una derivació. Això produeix la correspondència entre l'espai tangent definit mitjançant derivacions i l'espai tangent definit via l'espai de cotangent.
== Propietats ==
|
